ベクトルの1次独立 関連問題
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この項目については、ベクトルとはを参照してください。
(1) 2つのベクトル
，
が平行、つまり、
// 
⇔ 
(k：実数) (2) 2つのベクトル
，
について、“
(k：実数) かつ 
かつ 
”であるとき、
と
は1次独立であると言う。 (3) 平面上の2つのベクトル
，
が1次独立であるとき、この平面上の任意のベクトル
は、
(s，tは実数)の形に表すことができる。また、実数s，tの組はただ1通りに定まる。 (4) ベクトルは、長さが等しく向きが同じであれば同じベクトルと考えるが、始点をそろえて考える方が扱いやすい場合がある。始点を座標平面の原点Oにとって、ベクトル
を考えるとき、
を点Pの位置ベクトルと言い、
のように表す。
2つのベクトル
，
が1次独立でないとき(
// 
または 
または 
)、
と
は1次従属であると言います。
2つのベクトル
，
が平行なら、長さが違うか、向きが正反対の向きで長さが違うか、なので、一方のベクトルは他方のベクトルの実数倍で表されます。
2つのベクトル
，
が1次独立であることを、“
⇔ 
”であること、と定義することもあります。
2つのベクトル
，
が1次独立であるとき、
と
を始点をそろえて書くと右図のように三角形ができます。平面ベクトルにおいては、「1次独立」の意味を、三角形を作ることのできる位置関係と覚えておくとよいでしょう。
(3)を示しておきます。
平面上の2つのベクトル
，
が1次独立であるとき、この平面上の任意のベクトル
(始点がOでないベクトルも、始点がOに来るように平行移動して考えます)をとります。
・Pが直線OA上の点なら、
か、または
と表せます。 
ならば、
として、
と表せます。
ならば、
として、
と表せます。・Pが直線OB上の点の場合も、
か、または、
として、
と表せます。 
・Pが直線OA上にも、直線OB上にもないとき、右図のように、点Pを通り直線OBに平行な直線と直線OAとの交点をC，点Pを通り直線OAに平行な直線と直線OBとの交点をDとすると、四角形OCPDは平行四辺形で、
･･･①一方、Cは直線OA上の点なので、
･･･② と表されます。Dは直線OB上の点なので、
･･･③ と表されます。
②，③を①に代入することにより、
と表すことができます。 以上より、平面上の2つのベクトル
，
が1次独立であるとき、この平面上の任意のベクトル
は、
(s，tは実数)の形に表すことができます。
(3)の後段については、
と2通りに表されたとします。
･･･④
ここで、
だとすると、
･･･⑤
なので、
かつ
ですが、このとき⑤は、
// 
であることを意味するので、
と
が1次独立でなくなってしまいます。
よって、
，④より、
これは、
となる実数s，tの組がただ1通りであることを意味します。
(3)に出てくる、
(s，tが実数)という形を、
と
の1次結合と言います。
平面ベクトルの問題は、2つの1次独立なベクトルをとって、問題中に登場するベクトルを1次結合の形に表して考えることが基本です。
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