線形計画法 関連問題
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いくつかの1次不等式：
，
，･･･，
の全てを満たすような
に対して、
の最大値・最小値を求めるという問題がある。
各1次不等式が表す領域の共通部分Dを図示しておき、直線：
のkを動かして直線を平行移動させ、直線がDを通過するときのkの最大値と最小値を求めて、
の最大値・最小値を求める方法を、線形計画法と言う。
「線形計画法」は、もともとは、コンピューターを使って最適条件を求めるためのアルゴリズムの名前。
「線形計画法」と言う名前は、直線を境界線とする領域で考える問題を言うのですが、領域Dは、必ずしも1次不等式の表す領域でなくても、領域を図示して、直線、あるいは、曲線が領域D内を通過する条件を考えることにより、解ける問題はいくらもあります。
・
は、
とおいて、kを動かします(直線は平行移動します)。 ・
は、
とおいて、原点を中心とする円の半径を動かします。 x，yが領域D内の点である、という条件の下に、
，
，
，
の最大値、最小値を求める問題であれば、kを動かして直線、円を動かし、領域Dを通過する直線、あるいは円の中でkが最大になるもの、kが最小になるものを求めれば、そのときのkが求める最大値、最小値です。
例 製品Xを1g製造するのに、材料1を4g，材料2を1g，材料3を4g使い、製品Yを1g製造するのに、材料1を1g，材料2を3g，材料3を3g使う。材料1は全部で24kg，材料2は全部で18kg，材料3は全部で27kgある。製品X，Yの価格を1g当たり、それぞれ、10円，20円とするとき、最も売り上げを増やすためには、製品X，Yをそれぞれ何kgずつ製造するべきか。製品X，Yの価格が1g当たり20円，10円のときはどうか。製造したものはすべて売れるものとする。
解答 製品X，Yをそれぞれ、xkg，ykg製造するとします。
製品Xをxkg製造するのに、材料1を
kg，材料2を
kg，材料3を
kg使います。
製品Yをykg製造するのに、材料1を
kg，材料2を
kg，材料3を
kg使います。
材料1に関する条件は、
･･･①
材料2に関する条件は、
･･･②
材料3に関する条件は、
･･･③
また、
，
です。
これらの条件を全て満たす
は、右図で黄色に塗られた領域(境界線を含む)です。
②と③の境界線の交点Pを求めると、
，
を連立し、
，
①と③の境界線の交点Qを求めると、
，
を連立し、
，
製品X，Yの価格が1g当たり10円，20円のとき、売り上げは、
万円です。
とおくと、傾きが
の直線を表します。kを動かして直線を平行移動し、kが最大のところを探すと、直線
が点Pを通るとき(右図の赤色の直線)です。点Pにおいては、
，
なので、製品Xを3kg，製品Yを5kg製造するときに最大の売り上げ
万円が得られます。
製品X：3kg，製品Y：5kg ......[答]
製品X，Yの価格が1g当たり20円，10円のとき、売り上げは、
万円です。
とおくと、傾きが
の直線を表します。kを動かして直線を平行移動し、kが最大のところを探すと、直線
が点Qを通るとき(右図の青色の直線)です。点Qにおいては、
，
なので、製品Xを
kg，製品Yを
kg製造するときに最大の売り上げ
万円が得られます。
製品X：
kg，製品Y：
kg ......[答]
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は、
とおいて、直線：
の傾きkを動かします。
は、
とおいて、直線：
の傾きkを動かします。