部分積分法 関連問題
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公式：
[証明] 積の微分法の公式：
より、
両辺をxで積分すると、
(証明終)
定積分の場合には、
となります。
部分積分法では、被積分関数を2つの項の積と見て、片方を微分し、片方を積分することになります。
積分することにしたもの(公式では、
)を先に積分して、
という項を書きます。
次に、マイナスをつけて、微分することにしたもの(公式では、
)を微分し、
の積分を書きます。
例1． 
xは微分すると1となり、簡単になるので、xを微分し、
を積分します。
上記の公式にあてはめると、
，
とします。
，
を積分して
です。よって、
例2． 
例1と同様にxは微分すると1となり、簡単になるので、xを微分し、
を積分します。
上記の公式にあてはめると、
，
とします。
，
を積分して
です。よって、
例3． 
xを微分すると、
を積分することになってしまうのですが、
の積分は
で結局簡単になりません。
そこで、対数関数が出てくる場合には、対数関数の方を微分します。xは積分することになります。
上記の公式にあてはめると、
，
とします。
，
を積分して
です。よって、
例4． 
を微分、
を積分します。部分積分を1回行うだけでは、
の積分が残りますが、さらに、xを微分、
を積分にして部分積分することで、計算が終了します。
(C：積分定数)
例5． 
を微分、
を積分します。部分積分を1回行うだけでは、
の積分が残りますが、さらに、xを微分、
を積分にして部分積分することで、計算が終了します。
(C：積分定数)
[別解] なお、
という積分の場合には、不定積分も
の形になるので、以下のように計算する方がラクにすみます。部分積分は計算をミスしやすいので、入試会場で部分積分を避けることが可能なら、極力避けるべきです。
とおきます。
右辺をxで微分すると、
･･･①
･･･② より、
①，②式で係数比較して、
，
，
これらを解いて、
，
∴ 
(C：積分定数)
例6． 
被積分関数が対数関数を含む関数だけの場合は、
と見て、1を積分し、
を微分して、部分積分を行います。
ここでは、1回部分積分しても、
が残るのですが、これは、公式：
を使います。
(C：積分定数)
例7． 
を積分に回しても、
を積分に回しても、労力は同じです。ここでは、
を積分に回す方針でやってみます。
2回部分積分するとはじめと同じ形が出てくるので、最初の形をIとおいて、
(最初の形が出てくるので、それをIとおく)
∴ 
∴ 
∴ 
(C：積分定数)
[別解] この積分も例5．と同様に、
とおいて、
を微分して係数比較することによって、不定積分を求める方法が考えられます。
と係数比較して、
，
これらを解いて、
，
∴ 
(C：積分定数)
注．例4．～例7．を不定積分で例示しましたが、定積分においても、不定積分を定積分にかえ、積分のつかない項は、
とすれば、同様に計算が行えます。
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