同じものを含む順列 関連問題
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として、文字aをp個、文字bをq個、文字cをr個、一列に並べて作ることのできる順列の個数は、
個
まず、文字を置くn個の位置からaを置くp個の位置を選ぶのが、
通り、残った
個の位置からbを置くq個の位置を選ぶのが、
通り。これで、cを置く位置も確定します。順列の個数は、
個(注．
)です。
また、n個の異なるものを並べる並べ方が
通りあって、p個の文字aがすべて異なるとしてその並べ方が
通り、q個の文字bがすべて異なるとしてその並べ方が
通り、r個の文字cがすべて異なるとしてその並べ方が
通りあり、実際には、文字a同士の
通りの並べ替え、文字b同士の
通りの並べ替え、文字c同士の
通りの並べ替えを区別できないので、順列の個数は、
を
，
，
で割って、
個、という求め方もできます。
3種類以上の文字がある場合についても、全く同様の関係式：総個数の階乗をそれぞれの文字の文字数の階乗の積で割ったもの、になります。
例．(1) 数字1を3個、数字2を2個、数字3を5個使ってできる10桁の整数は、
通りできます。
(2) 右図のような碁盤目上の道路を最短経路でAからBまで行く経路の数を考えます。
AからBまで、例えば右図の矢印のような経路では、右−右−上−右−右−上−上−上−右、と進むことによりAからBまで行くことができます。これを見ると、右に5回、上に4回進むと、AからBに到達できることが分かります。‘上'と‘右'の並び方を変えると異なる経路になります。
従って、‘右'5文字と‘上'4文字を一列に並べる順列と考えることにより、
通りの経路があります。
(3) 
を展開したときの
の係数を考えます。
を10回かけて展開するとき、それぞれの
のa，b，cのどれを選んで10回かけていくかと考えると、
では、aを3回、bを2回、cを5回選んでかけることになります。
とかけ合わされている10個の
のどの3個からa，どの2個からb，どの5個からcをとってかけ合わせるか、ということで
という項の個数が決まります。従って、
の係数を、文字aを3個、文字bを2個、文字cを5個、一列に並べる順列の個数として求めると、
となります。
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