数列演習問題2008年(私大編)
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[1](等差数列) 初項が80，公差が
の等差数列の初項から第n項までの和が最大となるのは、n＝ のときで、その和は である。
(日大文理'08)
[解答へ]
[2](等差数列) 
が初項9，公差2の等差数列であるとき、
＝
(東京薬科大'08)
[解答へ]
[3](等差数列) 数列
，
，･･･，
，･･･は、初項a，公差dの等差数列であり、
かつ
，
をみたす。ただし、
である。このとき、次の各問に答えよ。
(1) 公差dがとる値の範囲を求めよ。
(2) 
(
)がとる値の範囲をnを用いて表せ。 (3) 
，
となるnの値を求めよ。 (4) 
が最大となるときのnの値をすべて求めよ。また、そのときの
をdの式で表せ。 (早大政経'08)
[解答へ]
[4](等差数列、等比数列、対数) 関数
の表す曲線上に点
，
，･･･，
，･･･がある。
の座標は
で、
の座標を
(
)とおくとき、数列
は等差数列で公差が
である。以下の設問で、必要ならば
を用いよ。
(1) 
の座標は である。 (2) 
(
)とおくと、数列
は初項 ，公比 の等比数列となる。また、不等式
を満たす最小の自然数nは である。 (北里大薬'08)
[解答へ]
[5](等差数列、等比数列、整数) 
を初項
が7で公差が3の等差数列とし、
を初項
が1で公差が5の等差数列とする。Aを数列
の項として現れるすべての数の集合、Bを数列
の項として現れるすべての数の集合とし、
とする。
をCの要素を重複を許さずに小さい順にならべて得られる数列として、以下の問いに答えよ。
(1) 数列
の第7項
は で、第11項
は である。
(2) 
＝ で、
＝ である。
一般に、mを正の整数としたとき、
である。
(3) 数列
を、
と定める。このとき、数列
の第77項
は で、第80項
は である。
(慶大商'08)
[解答へ]
[6](等比数列) 数列
が
(
)をみたすとき、
＝
さらに
が等比数列であるとき、
，
である。
(大同工大'08)
[解答へ]
[7](等比数列) a，kを2以上の自然数とするとき、数列
，
を
で定義する。このとき、次の問に答えよ。
(1) 
，
の値を求めよ。 (2) 任意の自然数nに対して、
は
で割り切れることを示せ。 (3) 等式
が任意の自然数nに対して成立するような組(a，k)をすべて求めよ。 (武蔵工大電気電子・建築'08)
[解答へ]
[8](等比数列) nを2以上の自然数とする。集合
と集合
から次の2つの規則で有限数列
，
，･･･，
をつくる。
規則1：
である。 規則2：
に対し、
が偶数ならば
であり、
が奇数ならば
である。 (1) 
のとき、数列
，
は全部で 通りある。その中で
が奇数になる数列
，
は全部で 通りある。 (2) 一般のnに対し、数列
，･･･，
は全部で
通りある。その中で
が奇数になる数列は全部で 通りある。
(3) nを固定し、
とする。数列
，･･･，
の中で
が奇数になる数列は全部で
通りであるとする。このとき、 である。
(上智大理工A'08)
[解答へ]
[9](数列の和) 次の数列の和を求めよ。
(1) 
(神戸薬大'08)
(2) 
(昭和薬大'08)
(3) 
(中部大'08改)
(4) 
(摂南大'08改)
(5) 
(関西学院大経済'08改)
[解答へ]
[10](数列の和) 正の整数nに対して、「偶数ならば2で割り、奇数ならば1を引いて2で割る」という操作を値が1になるまで繰り返し行うときの操作回数を
とする。ただし、
とする。たとえば、
のとき、値は10→5→2→1のように3回の操作で1になるから、
である。
(1) 
＝ ア である。また、
＝ ア が成り立つのは、 イ ≦n≦ ウ のときである。 (2) pを正の整数とする。
を満たす最小のnは エ である。また、
を満たすnの個数を
とすると、
＝ オ である。 (3) 
とすると、 である。
(法政大理工'08)
[解答へ]
[11](群数列) 数列
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，･･･ において、
が最初に現れる項は第 であり、また、第2450項は
である。
(星薬大'08)
[解答へ]
[12](格子点、階差数列) 座標平面上の点
において、x，yがともに整数となる点を格子点という。いま、格子点
のx座標とy座標の和
を、この格子点の値と定義する。
連立方程式
で表される領域内にある格子点について、それぞれ格子点の値を定め、その総和を
とする。
(2) 
を
とnを用いて表せ。 (3) 数列
の一般項を求めよ。 (立命館大'08)
[解答へ]
[13](漸化式) 正の整数nに対して、
と
は0以上の整数で、次の条件(i)，(ii)，(iii)をみたしている。
(i) 
，
(ii) 
(iii) 
このとき、次の設問に答えよ。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を求めよ。 (3) 
を求めよ。 (早大商'08)
[解答へ]
[14](二項定理) 
の下3桁を求めよ。
(東京理科大理'08改)
[解答へ]
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のとき、
が奇数になる数列
，
，
は全部で 通りある。
，
，
を求めよ。