四分位数

ある一つの属性についてのデータの要素をとなるように並べ、ほぼ同数の4つに分けるとき、分け目の境界に来る数を四分位数と言う。四分位数を小さい方から1四分位数2四分位数3四分位数と言う。
現行教科書では、データの大きさをとして、四分位数を以下の手順で求めている。

nが奇数のとき、中央値を第2四分位数とする。データDから中央値を除いて、データDを前半と後半に分け、の中央値を第1四分位数の中央値を第3四分位数とする。
nが偶数のとき、中央値を第2四分位数とする。データDを前半と後半に分け、の中央値を第1四分位数の中央値を第3四分位数とする。
四分位範囲四分位偏差と言う。
右図のように、の範囲を箱で示し、の位置に線分を引き、さらに、最大値、最小値と箱を線分で結んだ図を
箱ひげ図と言う。


高校教科書の四分位数は、表計算ソフト
EXCELQUARTILE関数(データの25%,50%,75%相当の位置にある数値)と定義が違うので注意してください。データの大きさが奇数の場合には、QUARTILE.EXC関数の結果とは一致します。

奇数個
7個のデータの場合、中央値の7が第2四分位数です。7を除いた前半の中央値3が第1四分位数です。後半の中央値13が第3四分位数です。四分位範囲は,四分位偏差はです。箱ひげ図は右図のようになります。

偶数個
8個のデータの場合、中央値が第2四分位数です。前半の中央値が第1四分位数、後半の中央値が第3四分位数です。四分位範囲は,四分位偏差はです。

データの整理で取り上げたデータを再掲します。
 日最高気温日照時間湿度 日最高気温日照時間湿度 日最高気温日照時間湿度
 121.4071 1127.62.754 2129.311.431
 225.20.967 1223.50.971 2231.96.046
 324.71.467 1326.77.937 2330.08.134
 424.00.371 1425.21.058 2426.27.950
 526.96.457 1526.38.651 2527.38.246
 624.96.553 1627.25.445 2619.80.770
 726.39.644 1725.31.856 2724.910.548
 819.7068 1825.3071 2825.97.047
 928.46.855 1927.611.446 2927.75.748
 1029.78.242 2029.07.838 3027.87.948

最高気温の30個のデータを小さい順に並べると、
19.7, 19.8, 21.4, 23.5, 24, 24.7, 24.9, 24.9, 25.2, 25.2, 25.3, 25.3, 25.9, 26.2, 26.3, 26.3, 26.7, 26.9, 27.2, 27.3, 27.6, 27.6, 27.7, 27.8, 28.4, 29, 29.3, 29.7, 30, 31.9
となります。15番目と16番目がともに26.3で中央値、即ち第2四分位数は26.3℃です。データを1番目から15番目までと16番目から30番目までに分けると、前半の8番目は24.9で、前半の中央値、即ち第1四分位数は24.9℃です。後半の8番目は27.7で、後半の中央値、即ち第3四分位数は27.7℃です。箱ひげ図は右図のようになります。ばらつきが小さく中央値付近に集中している状況が分かります。

日照時間の
30個のデータを小さい順に並べると、
0, 0, 0, 0.3, 0.7, 0.9, 0.9, 1, 1.4, 1.8, 2.7, 5.4, 5.7, 6, 6.4, 6.5, 6.8, 7, 7.8, 7.9, 7.9, 7.9, 8.1, 8.2, 8.2, 8.6, 9.6, 10.5, 11.4, 11.4
となります。15番目が6.416番目が6.5で中央値、即ち第2四分位数は6.45時間です。データを1番目から15番目までと16番目から30番目までに分けると、前半の8番目は1で、前半の中央値、即ち第1四分位数は1時間です。後半の8番目は8.1で、後半の中央値、即ち第3四分位数は8.1時間です。箱ひげ図は右図のようになります。ばらつきの大きい状況が分かります。

湿度の
30個のデータを小さい順に並べると、
31, 34, 37, 38, 42, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 48, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 67, 67, 68, 70, 71, 71, 71, 71
となります。15番目が5016番目が51で中央値、即ち第2四分位数は50.5%です。データを1番目から15番目までと16番目から30番目までに分けると、前半の8番目は46で、前半の中央値、即ち第1四分位数は46%です。後半の8番目は67で、後半の中央値、即ち第3四分位数は67%です。箱ひげ図は右図のようになります。

9月を記した上記データと同じ都市の最高気温について、各月ごとの四分位数を1年間まとめると以下の表のようになります。
 月最小値1四分位数2四分位数3四分位数最大値
 1-2.01.33.96.411.3
 20.14.07.2511.919.1
 33.711.713.818.523.9
 410.515.018.0521.824.2
 516.520.722.924.928.9
 621.525.827.428.832.1
 723.227.630.833.435.4
 821.728.031.933.537.3
 919.724.926.327.731.9
 1011.915.919.627.329.0
 115.113.815.6516.619.3
 12-2.64.26.79.714.1

この表に基づいて、最高気温の各月の箱ひげ図を1年間まとめてグラフに表すと、右図のようになります。1年間の気温の変化の具合をよく伝えています。



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