四分位数

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ある一つの属性についてのデータ

の要素を

となるように並べ、ほぼ同数の4つに分けるとき、分け目の境界に来る数を四分位数と言う。四分位数を小さい方から第1四分位数、第2四分位数、第3四分位数と言う。
現行教科書では、データの大きさを

として、四分位数を以下の手順で求めている。

・nが奇数のとき、中央値

を第2四分位数

とする。データDから中央値

を除いて、データDを前半

と後半

に分け、

の中央値を第1四分位数

、

の中央値を第3四分位数

とする。

・nが偶数のとき、中央値

を第2四分位数

とする。データDを前半

と後半

に分け、

の中央値を第1四分位数

、

の中央値を第3四分位数

とする。

を四分位範囲、

を四分位偏差と言う。

右図のように、

の範囲を箱で示し、

の位置に線分を引き、さらに、最大値、最小値と箱を線分で結んだ図を箱ひげ図と言う。

高校教科書の四分位数は、表計算ソフトEXCELのQUARTILE関数(データの25％，50％，75％相当の位置にある数値)と定義が違うので注意してください。データの大きさが奇数の場合には、QUARTILE.EXC関数の結果とは一致します。

奇数個7個のデータ

の場合、中央値の7が第2四分位数です。7を除いた前半

の中央値3が第1四分位数です。後半

の中央値13が第3四分位数です。四分位範囲は

，四分位偏差は

です。箱ひげ図は右図のようになります。

偶数個8個のデータ

の場合、中央値

が第2四分位数です。前半

の中央値

が第1四分位数、後半

の中央値

が第3四分位数です。四分位範囲は

，四分位偏差は

です。

データの整理で取り上げたデータを再掲します。

日	最高気温	日照時間	湿度	日	最高気温	日照時間	湿度	日	最高気温	日照時間	湿度
1	21.4	0	71	11	27.6	2.7	54	21	29.3	11.4	31
2	25.2	0.9	67	12	23.5	0.9	71	22	31.9	6.0	46
3	24.7	1.4	67	13	26.7	7.9	37	23	30.0	8.1	34
4	24.0	0.3	71	14	25.2	1.0	58	24	26.2	7.9	50
5	26.9	6.4	57	15	26.3	8.6	51	25	27.3	8.2	46
6	24.9	6.5	53	16	27.2	5.4	45	26	19.8	0.7	70
7	26.3	9.6	44	17	25.3	1.8	56	27	24.9	10.5	48
8	19.7	0	68	18	25.3	0	71	28	25.9	7.0	47
9	28.4	6.8	55	19	27.6	11.4	46	29	27.7	5.7	48
10	29.7	8.2	42	20	29.0	7.8	38	30	27.8	7.9	48

最高気温の30個のデータを小さい順に並べると、

19.7, 19.8, 21.4, 23.5, 24, 24.7, 24.9, 24.9, 25.2, 25.2, 25.3, 25.3, 25.9, 26.2, 26.3, 26.3, 26.7, 26.9, 27.2, 27.3, 27.6, 27.6, 27.7, 27.8, 28.4, 29, 29.3, 29.7, 30, 31.9

となります。15番目と16番目がともに26.3で中央値、即ち第2四分位数は26.3℃です。データを1番目から15番目までと16番目から30番目までに分けると、前半の8番目は24.9で、前半の中央値、即ち第1四分位数は24.9℃です。後半の8番目は27.7で、後半の中央値、即ち第3四分位数は27.7℃です。箱ひげ図は右図のようになります。ばらつきが小さく中央値付近に集中している状況が分かります。

日照時間の30個のデータを小さい順に並べると、

0, 0, 0, 0.3, 0.7, 0.9, 0.9, 1, 1.4, 1.8, 2.7, 5.4, 5.7, 6, 6.4, 6.5, 6.8, 7, 7.8, 7.9, 7.9, 7.9, 8.1, 8.2, 8.2, 8.6, 9.6, 10.5, 11.4, 11.4

となります。15番目が6.4，16番目が6.5で中央値、即ち第2四分位数は6.45時間です。データを1番目から15番目までと16番目から30番目までに分けると、前半の8番目は1で、前半の中央値、即ち第1四分位数は1時間です。後半の8番目は8.1で、後半の中央値、即ち第3四分位数は8.1時間です。箱ひげ図は右図のようになります。ばらつきの大きい状況が分かります。

湿度の30個のデータを小さい順に並べると、

31, 34, 37, 38, 42, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 48, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 67, 67, 68, 70, 71, 71, 71, 71

となります。15番目が50，16番目が51で中央値、即ち第2四分位数は50.5％です。データを1番目から15番目までと16番目から30番目までに分けると、前半の8番目は46で、前半の中央値、即ち第1四分位数は46％です。後半の8番目は67で、後半の中央値、即ち第3四分位数は67％です。箱ひげ図は右図のようになります。

9月を記した上記データと同じ都市の最高気温について、各月ごとの四分位数を1年間まとめると以下の表のようになります。

月	最小値	第1四分位数	第2四分位数	第3四分位数	最大値
1月	-2.0	1.3	3.9	6.4	11.3
2月	0.1	4.0	7.25	11.9	19.1
3月	3.7	11.7	13.8	18.5	23.9
4月	10.5	15.0	18.05	21.8	24.2
5月	16.5	20.7	22.9	24.9	28.9
6月	21.5	25.8	27.4	28.8	32.1
7月	23.2	27.6	30.8	33.4	35.4
8月	21.7	28.0	31.9	33.5	37.3
9月	19.7	24.9	26.3	27.7	31.9
10月	11.9	15.9	19.6	27.3	29.0
11月	5.1	13.8	15.65	16.6	19.3
12月	-2.6	4.2	6.7	9.7	14.1

この表に基づいて、最高気温の各月の箱ひげ図を1年間まとめてグラフに表すと、右図のようになります。1年間の気温の変化の具合をよく伝えています。

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