重複組み合わせ 関連問題
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異なるn種類のものから各種類の重複を許してr個とる重複組み合わせの数は、
通り。
参考書では、「異なるn個のものから重複を許してr個とる」と書かれていますが、「異なるn個」というよりも「異なるn種類」と理解してください。
r個のものを'○'で表すと、異なるn種類のものがあるので、以下のように、r個の'○'の間にしきい'｜'を
個入れて、全部で
個の位置の中のどのr個の位置に'○'を入れるか、と、考えれば、場合の数が
通りあることが理解できると思います。
重複組み合わせで考えられる問題には、いろいろなパターンがあります。いずれも、3種類のものが繰り返し出てきて計10回で、それぞれの種類が何個ずつあるかという組み合わせの数です。特徴をよくつかんでください。
(1) りんご、かき、みかん、3種類のくだものを全部合わせて10個取るときの取り方は、
通り。 (2) 大、中、小の3枚の皿に、お菓子を計10個置くときの置き方は、
通り。 (3) 10個のボールに、赤、青、黄の3種類の色を塗るときの塗り分け方は、
通り。 (4) 
を展開して同類項をまとめて整理したときの項の数は、
項。 (5) 0以上の整数x，y，zについて、方程式：
を満たす解の個数は、
個。 
(6) 右図のような碁盤目状道路をAからBまで最短経路で進むときの進み方は、一条通り、二条通り、三条通りで合わせて10回右に進めばよいと考えると、
通り。(7) 候補者3人を10人の人が1票ずつ投票して選挙するときの票の出方は、
通り。 (8) サイコロを10回振るとき、サイコロの目を3で割った余りの出方は、
通り。 上記は、いずれも以下のように、10個の'○'の間に
個の'｜'を入れて、合わせて
個の位置の中のどの10個の位置に'○'を入れるか(あるいは、どの2個の位置に'｜'を入れるか)と考えると、
通りと考えることに納得がいくと思います。(1)として、各種類の数を書いておきます。
｜｜○○○○○○○○○○ りんご0個、かき0個、みかん10個
｜○｜○○○○○○○○○ りんご0個、かき1個、みかん9個
｜○○｜○○○○○○○○ りんご0個、かき2個、みかん8個
・・・・・・
｜○○○○○○○○○｜○ りんご0個、かき9個、みかん1個
｜○○○○○○○○○○｜ りんご0個、かき10個、みかん0個
○｜｜○○○○○○○○○ りんご1個、かき0個、みかん9個
○｜○｜○○○○○○○○ りんご1個、かき1個、みかん8個
○｜○○｜○○○○○○○ りんご1個、かき2個、みかん7個
・・・・・・
○｜○○○○○○○○｜○ りんご1個、かき8個、みかん1個
○｜○○○○○○○○○｜ りんご1個、かき9個、みかん0個
○○｜｜○○○○○○○○ りんご2個、かき0個、みかん8個
○○｜○｜○○○○○○○ りんご2個、かき1個、みかん7個
・・・・・・
○○｜○○○○○｜○○○ りんご2個、かき5個、みかん3個
・・・・・・
○○○○○○○○○｜○｜ りんご9個、かき1個、みかん0個
○○○○○○○○○○｜｜ りんご10個、かき0個、みかん0個
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