代表値

代表値　　　関連問題

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ある一つの属性についてのデータ

があるとき、集合Dの要素の個数

をデータの大きさと言う。データの総和をデータの大きさで割ったもの、

をデータの平均値と言う。
度数が最も多い階級の階級値を最頻値(mode)と言う。
データを

となるように並べたときに中央に来る値、つまり、nが奇数のときは、

番目の値

、nが偶数のときは、

番目に来る値と

番目に来る値の平均

を中央値(median)と言う。

データの整理で取り上げたデータを再掲します。

日	最高気温	日照時間	湿度	日	最高気温	日照時間	湿度	日	最高気温	日照時間	湿度
1	21.4	0	71	11	27.6	2.7	54	21	29.3	11.4	31
2	25.2	0.9	67	12	23.5	0.9	71	22	31.9	6.0	46
3	24.7	1.4	67	13	26.7	7.9	37	23	30.0	8.1	34
4	24.0	0.3	71	14	25.2	1.0	58	24	26.2	7.9	50
5	26.9	6.4	57	15	26.3	8.6	51	25	27.3	8.2	46
6	24.9	6.5	53	16	27.2	5.4	45	26	19.8	0.7	70
7	26.3	9.6	44	17	25.3	1.8	56	27	24.9	10.5	48
8	19.7	0	68	18	25.3	0	71	28	25.9	7.0	47
9	28.4	6.8	55	19	27.6	11.4	46	29	27.7	5.7	48
10	29.7	8.2	42	20	29.0	7.8	38	30	27.8	7.9	48

30日分の最高気温のデータを、

という具合に足していくと、総和は、785.7になります。最高気温の平均値は、

より、26.19℃です。このとき電卓でもあれば、

と足していってもよいのですが、暗算では大変です。そこで、仮平均との差の平均を考える、という技巧があります。最高気温の最大値は22日の31.9℃、最小値は8日の19.7℃なので、

なので、仮平均を26℃として、各データの26℃との差を

というように足していきます。これなら、暗算でもできないことはありません。平均値は、

として求めることができます。入試でも功を奏する技巧です。但し、仮平均の技巧は、日照時間や湿度のようにばらつきが多いデータだとあまり効果はありません。日照時間の平均値は、

，

より、5.37時間です。湿度の平均値は、

，

より、53%です。

最高気温の最頻値は、データの整理で書いたような幅1.5℃の階級では、24.5以上26未満の階級の度数8が最大の度数なので、最頻値は、

℃です。
日照時間の最頻値は、度数9が最大の0以上1.5未満の階級なので、0.75時間です。日照時間の平均時間5.37時間とは大きくずれます。
湿度の最頻値は、度数10が最大の40以上50未満の階級なので、45％です。

最高気温の中央値は、最高気温を小さい順に並べたとき、15番目の26.3℃と16番目の平均26.3℃の平均をとり、26.3℃です(上記のデータでは中央に来るものが存在しませんが、データの大きさが奇数なら、ちょうど中央に来るものが存在します)。
日照時間の中央値は、日照時間を小さい順に並べたとき、15番目の6.4と16番目の6.5の平均をとり、6.45時間です。
湿度の中央値は、湿度を小さい順に並べたとき、15番目の50と16番目の51の平均をとり50.5％です。

平均値、最頻値、中央値のどれがデータの代表値として適当か、ということについては、データの特性にもよります。例えば、日本人100人の平均年収が400万円と言われても、年収1億円の人が2人いて、残りの98人の年収が200万円であっても平均年収396万円ということになりますが、これは年収の実体を反映しているとは言えません。最頻値や中央値の方が実体を表しているということもあります。

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