集合の要素の数 関連問題
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実数全体の集合のように要素が無限にある集合を無限集合と言う。1から100までの整数の集合のように要素の個数が有限である集合を有限集合と言う。有限集合Aの要素の個数を
で表す。
空集合
の要素の個数は
1から100までの整数の集合Aの要素の個数は
集合A，Bについて、次の公式が成り立ちます。
とくに、
のとき、
[証明] 右図において、
，
，
とする。
のとき、
だから、
(証明終)
全体集合Uとその部分集合Aについて、次の公式が成り立ちます。
[証明] 公式
において、
とすれば、
，
より、
∴ 
(証明終)
例1．30人のクラスでくじびきを2回した。商品としてハンカチをもらった人が12人、バッグをもらった人が5人、両方とももらった人が2人いた。商品を何ももらえなかった人は何人いるか。
[解答] ハンカチかバッグかどちらかをもらった人が、
人。
何ももらえなかった人は、
人 ......[答]
集合A，B，Cについて、次の公式が成り立ちます。
[証明] 右図において、
，
、
，
，
，
，
とします。
は、
，
，
の部分を重複して数えることになります。
しかし、
は、
の部分を3回数えることになります。
従って、
では、
の部分を3回足して、3回引いてしまうので、
の部分を足さないことになってしまいます。よって、
(証明終)
例2．ある集会で、参加者の所持品を調べたところ、携帯電話を所持している人が45人、定期入れを所持している人が37人、電卓を所持している人が12人、携帯電話と定期入れを所持している人が26人、定期入れと電卓を所持している人が6人、携帯電話と電卓を所持している人が5人、携帯電話と定期入れと電卓の全てを所持している人が2人だった。集会の参加者は70人。携帯電話、定期入れ、電卓のいずれも所持していない人は何人か。
[解答] 携帯電話か、定期入れか、電卓のいずれかを所持している人は、
人
よって、いずれも所持していない人は、
人 ......[答]
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