･･･① が成り立ちます。ここで、等脚台形の頂点の名前の付け方を変えて、
･･･① が成り立ちます。
とすると、ADの長さを求めることができます。AとB，DとCの間に対称性がある、と、わかっていれば、BCに関して詳細を調べずとも、「対称性より」として、
としてBCの長さを求めることができます。ADについて成り立つことはBCについても成り立つ、と言えるからです(この対称性を鏡像対称性と言います)。
とわかったとします。正五角形の頂点の名前の付け方を、BをAに、CをBに、DをCに、EをDに、AをEに、と代えたとします。元のACはEBに代わります。名前を付け替えただけなので、当然
です。さらに同じ名前の付け替えを行えば、
も言えます。これを繰り返し、一々計算し直さなくても、
も言えます。この対称性を回転対称性と言います。正五角形は中心(対角線の交点)の回りに角
の回転を行っても同じ図形になるので、上記のようなことが言えます。
かつ
，
かつ
，
かつ
(m，n，k，l，i，jは整数)が引かれていたとします。さらに直線と直線の交点にx座標、y座標、z座標が整数となる点(格子点と言います)ができます。格子点
に隣接する格子点(長さ1の線分を介して隣り合う点)は、
，
，
，
，
，
の6個あります。格子点の並び方は空間内のどこでも均等なので、格子点
についても隣接する格子点は6個です。対称性により、格子点
についても隣接する格子点は6個です。この対称性を並進対称性と言います。
で、文字aのところにbと書き、文字bのところにaと書いた式を考えると、
となりますが、
なので、式の値は変わりありません。このような式を対称式と言います。
は3文字の対称式です。
は対称式ではありません。
だからです。対称式は基本対称式の加減乗除として表せる、という性質があります。