東工大数学'08年後期[1]
次の問いに答えよ。
をみたしているとする。このとき
であることを証明せよ。 (2) nを2以上の整数とし、
個の実数
，
，･･･，
，
，
，･･･，
，
，
，･･･，
が およびn個の不等式
(
)をみたしているならば、
であることを証明せよ。
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解答
(1) 
･･･① 
･･･②
･･･③①より
なので、②より、
①より
なので、
両辺に
を加えると、③より、
(2) 数学的帰納法だろうということはうすうす察しがつきますが、なかなか帰納法の枠組みが見えません。そこで、
の場合を考えて、
から
への論理の進み具合を調べてみます。
のときには、 の4式から、
を導くことになります。
帰納法にすることを考えて、
のときの結果：
を利用することになりますが、①，②，③は、
のときの仮定と同じなので、当然、
は成り立ちます。(1)と同様にするのであれば、
を利用して、 
･･･⑤ここで、(1)と同様に②によって
が言えているので、
こうして、
⑤とつなげて各辺に
を加えれば、 
(∵ ④)∴ 
より、
∴ 
となります。
一般のnの場合に数学的帰納法の枠組みに乗せるためには、
のときに、 とするために、
のときの、
を利用すればよいわけです。ここからさらに、 とするためには、
のときの、
を利用します。
以下、
，･･･，
のときの結果を使うので、数学的帰納法の仮定は、「
のとき成立すると仮定する」という形になります。
こうして、答案を以下のようにまとめることができるでしょう。数学的帰納法により証明する。 (Ⅰ) 
のときは、(1)により成り立つ。 (Ⅱ) 
のときに成り立つと仮定する。即ち、 
個の実数
，
，･･･，
，
，
，･･･，
，
，
，･･･，
が
･･･①およびk個の不等式
(
) ･･･②をみたしているならば、
(
) ･･･③が成立する(③の各不等式は②があってはじめて成立します)と仮定する。
ここで、②の
の場合の不等式と①より、
･･･④
また、①，②に加えて、3個の実数
，
，
が をみたすとする。
(∵ ①，および、③の
の場合)･･････
(∵ ①，および、③の
の場合)
(∵ ⑤)(Ⅰ)，(Ⅱ)より、2以上の整数nについて成立する。 (証明終)
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，
，
，
，
，
が
より、
(証明終)
･･･①
･･･②
･･･③
･･･④
，
(
) ･･･⑤
(∵ 
，および、③の
の場合)
より、
のときにも成立する。