東工大数学'10年前期[4]
aを正の定数とする。原点をOとする座標平面上に定点
と、Aと異なる動点
をとる。次の条件
AからPに向けた半直線上の点Qに対し
ならば 
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解答 以下では、問題文中でPが満たすべき条件として出てくる命題を命題Cと呼ぶことにします。この“命題C：
ならば 
”の意味するところがわかりにくいだけでなく、論理的に入り組んでいる上に、分母=0の考慮も必要で、難路を紆余曲折させられます。
まずは、簡単な場合から題意をつかむようにしましょう。
いきなり座標平面上で考えるのでは難しいので、x軸上に
，
をとって調べてみます。
，
，
，
，
，また、PはAと異なるので
であり、Qは、AからPに向けた半直線上の点なので、
は0になることを含めて
と同符号です。
命題Cは、
ならば 
･･･①
①で
，
としてみると、
なので
であって、
ならば 
ならば 
のときに、
の分母が0になってしまうので、
は命題Cを満たさず、
のとき
は領域D内の点ではありません。
より、①で
とすることはできません。
①で
，
としてみると、
なので
であって、
ならば 
より、結局、
ならば 
のとき
も領域D内の点ではありません。
①で
，
としてみると、
なので
であって、
ならば 
より、
ならば 
は命題Cを満たし、
のとき
は領域D内の点です。
試験場でも、a，xにいろいろな値を入れて、命題Cが成立する場合、成立しない場合を試してみることになるでしょう。
ここで、数値代入してやってみたことを整理します。命題Cの十分条件：
から得られるQの座標に関する不等式の範囲を
，必要条件：
から得られるQの座標に関する不等式の範囲を
として、特定の点
について、
が
に含まれていれば命題Cが成立するので「
は領域D内の点だ」と判断し、
が
に含まれていなければ命題Cが成立しないので「
は領域D内の点ではない」と判断しています。
であれば、一般的な点
について、十分条件から得られる範囲が、必要条件から得られる範囲に含まれるような
を調べれば、「命題Cが成立する」という条件を満たすPからなる領域Dを求められるはずです。
ここでは、必要条件、十分条件の範囲を考えやすくするために、
，
，Qは半直線AP上の点なので
です。また、半直線APがx軸正方向となす角をθ (
)とします。
Pの座標は
，Qの座標は
となります。
さらに、命題Cの必要条件の分母にOQが出てくるので、QはOと一致しません。
QがOと一致するとき、Qの座標について、
，
なので、
，
，つまり、
また、
より
kは任意の正数値をとり得てしまうので、Pの位置によって
となる可能性を排除することはできないので、
Pが存在する領域Dは、
となる範囲を含んでいてはならない ･･･(＊)
ということに注意します。
さて、命題Cの十分条件：
より、
･･･②
命題Cの必要条件：
より、
，
を用いて、
･･･③
③の両辺は、負になることはなく、rで割って、両辺を2乗すると、
整理すると、
･･･④(i) 
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周上の点ですが、④より、 
より、
･･･⑤(＊)より、
のとき、Pは
に来るので、領域Dから
は除かれます。
よって、このとき、
を除いて、“② ならば ⑤”は成立し、命題Cが成立します。 (ii) 
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周より内側の点ですが、④より、 
より、
なので、
･･･⑥このとき、“② ならば ⑥” (⑥の範囲が②の範囲を含む)が成立するために、
でなければなりません。分母を払って整理すると、
ここで、
，
より、 ∴ 
･･･⑦
また、
(PはAと異なる点)に注意すると、
⇔ “
かつ 
”より
は除かれます。(＊)を検討します。
のとき、P
は、x軸上の
の部分を動きます。この部分は領域Dから除かれるべきですが、そもそも⑦に含まれていません。
よって、このときは、
を除く領域⑦内に存在するPについて、“② ならば ⑥”が成立し、命題Cが成立します。 (iii) 
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周より外側の点ですが、④より、 
･･･⑧Pのx座標
について、(a) 
のとき、⑧の中カッコ内は正で、不等式⑧を満たすkは、 
･･･⑤
このとき、“② ならば ⑤”が成立します。(b) 
のとき、
より、不等式⑧を満たすkは、 
･･･⑨
②を満たすkのうち、
となるkは⑨を満たさず、“② ならば ⑨”は成立しません。(a)，(b)より、
です。(＊)を検討します。
のとき、P
は、x軸上の
の部分を動きますが、この部分はそもそも
かつ
の部分には含まれていません。
よって、このときは、
において、“② ならば ⑤”が成立し、命題Cが成立します。
(i)，(ii)，(iii)をまとめると、命題Cが成立するのは、
を除く
，または、
かつ 
(
より
を除く)，または、
かつ 
がAを中心とする半径aの円周を表すことに注意して、整理すると、領域Dは、
であって、図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含み白マルを除く)。
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であれば
なので、
かつ 
であって
，
を除く部分