空間ベクトル・空間図形演習問題
長崎大医数学'08年[3]
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1辺の長さ
の正方形の折り紙がある。正方形ABCDの中心を点Oとし、AO上に点Eをとり、
とする。図1の斜線部を取り去り、OB，OEに沿って折り、OCとODを貼り合わせ、図2のように三角錐O-BCEを作って平面に置いた。Oより三角形BCEに下ろした垂線と三角形BCEとの交点をHとするとき、次の問いに答えよ。
(2) 三角形BCEの外心を点Pとする。
のときの
の長さをaを用いて表せ。 [解答へ]
電通大数学'08年前期[4]
xyz座標空間内において、点Pを中心とし半径が
の球面Sを考える。ある平面αと球面Sが交わってできる円D上に3点A
，B
，C
がある。以下の問いに答えよ。ただし、
，
とする。
(2) 円Dの中心をQとする。点Qは平面α上にあるので、ベクトル
はある実数s，tを用いて と表される。線分AB，ACの中点をそれぞれM，Nとするとき、ベクトル
，
をs，t，
，
を用いて表せ。 (3) s，tの値を求めよ。
(4) 円Dの半径rと中心Qの座標を求めよ。
(5) 平面αと垂直なベクトル
を成分で表せ。 (6) 球面Sの中心Pの座標を求めよ。ただし、点Pのz座標は負でないとする。
[解答へ]
同志社大文系数学'09年[3]
点Oを1つの頂点とする4面体OABCを考える。
，
，
とし、
と
，
と
，
と
がそれぞれ直交するとき、次の問いに答えよ。
(1) k，l，mを実数とする。空間の点Pを
とするとき、内積
をk，l，m，
，
，
を用いて表せ。 (2) 点Oから
に下ろした垂線の足をHとする。
を
，
，
を用いて表せ。 (4) 
の面積を
，
の面積を
，
の面積を
とする。
の面積Sを
，
，
を用いて表せ。 [解答へ]
名古屋市大医数学'08年[2]
四面体OABCにおいて、
，
，
とする。
，
，
，
のとき、次の問いに答えよ。
(1) 辺BCをt：
の比に分ける点をQ，AQをs：
の比に分ける点をPとする。
を
，
，
とs，tで表せ。 (2) 
が平面ABCと垂直になるとき、s，tの値を求めよ。 (3) 四面体OABCの体積を求めよ。
[解答へ]
茶女大理数学'09年[3]
aを正の数とし、次のような条件をみたす四面体OABCを考える。
(1) 
とおく。
をaを用いて表せ。 (2) △ABCの面積をaを用いて表せ。
(3) 球
が四面体OABCのすべての面と接しているとする。この球
の半径をaを用いて表せ。 (4) 四面体OABCのすべての頂点が球
の表面上にあるとする。この球
の半径をaを用いて表せ。 [解答へ]
東大理系数学'01年前期[1]
半径rの球面上に4点A，B，C，Dがある。四面体ABCDの各辺の長さは、
，
[解答へ]
東大文系数学'98年[4]
xyz空間に3点A
，B
，C
をとる。△ABCを1つの面とし、
の部分に含まれる正四面体ABCDをとる。さらに△ABDを1つの面とし、点Cと異なる点Eをもう1つの頂点とする正四面体ABDEをとる。
(1) 点Eの座標を求めよ。
(2) 正四面体ABDEの
の部分の体積を求めよ。
[解答へ]
九大理系数学'09年後期[3]
Oを原点とするxyz空間内の点A，B，CをそれぞれA
，B
，C
とし、2点A，Bを通る直線を
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 点Pは直線
上を動き、点Qはy軸上を動くものとする。このとき、2点PとQとの距離の最小値を求めよ。また、PとQとの距離が最小となるときのPとQをそれぞれ
，
とする。
と
の座標を求めよ。 (2) 
との距離がsであるような直線
上の点の一つをSとする。点Sから三角形
を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとするとき、線分SRの長さを求めよ。 (3) y軸上に長さkの線分DEがあり、直線
上に長さmの線分FGがある。四面体DEFGの体積を求めよ。 [解答へ]
大阪府立大工数学'09年[3]
点O
を原点とする座標空間の4点A
，B
，C
，D
の位置ベクトルをそれぞれ
，
，
，
とする。また、2つのベクトル
，
の両方に垂直な単位ベクトルを
とし、2つのベクトル
，
の両方に垂直な単位ベクトルを
とする。さらに、空間内に点Pがあり、点Pの位置ベクトル
は、
(α，β，γは定数)
(1) 
，
を成分表示せよ。 (2) 実数s，t，uに対して、等式
が成り立つことを示せ。
(3) 空間内に点Qがあり、点Qの位置ベクトル
は、 
(s，tは実数)であるとする。実数s，tを動かすとき、
の最大値は
であることを示せ。この最小値を点Pと平面OABとの距離という。ただし、平面OABとは3点O，A，Bを通る平面である。 (4) 点Pと平面OABとの距離を内積
を用いて表せ。 (5) 
の成分表示を
とする。点Pと平面OCDとの距離が点Pと平面OABとの距離に等しくなるための必要十分条件をl，m，nを用いて表せ。 ((1)については計算の過程を記入しなくてもよい)
[解答へ]
早大教育数学'10年[2]
底面が正六角形ABCDEFで頂点がOの正六角錐O-ABCDEFがある。底面の辺の長さをa，
とする。2つの面△OABと△OBCのなす角をθ とするとき、
を求めよ。
[解答へ]
大分大医数学'10年[2]
中心のxyz座標が
で半径が1の球Gと点P
に関して、点Pを通る直線が球Gと共有点をもつとき、この直線とxy平面の交点全体が作る図形の外形を表す方程式を求めよ。また、その方程式が表す図形を実数aに関して分類せよ。
[解答へ]
岐阜薬大数学'10年[2]
一辺の長さが1の正二十面体Wのすべての頂点が球Sの表面上にあるとき、次の問いに答えよ。なお、正二十面体は、すべての面が合同な正三角形であり、各頂点は5つの正三角形に共有されている。
(1) 正二十面体の頂点の総数を求めよ。
(2) 正二十面体Wの1つの頂点をA，頂点Aからの距離が1である5つの頂点をB，C，D，E，Fとする。
を用いて、正五角形BCDEFの外接円の半径Rと対角線BEの長さを求めよ。 (3) 2つの頂点D，Eからの距離が1である2つの頂点のうち、頂点Aでない方をGとする。球Sの直径BGの長さを求めよ。
(4) 球Sの中心をOとする。△DEGを底面とする三角錐ODEGの体積を求めよ。
[解答へ]
首都大理系数学'11年前期[2]
座標空間の3点A
，B
，C
を通る平面をαとする。点D
を通り、ベクトル
に平行な直線を
とする。また、点Dを通り、ベクトル
に平行な直線を
とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 
とαの交点をEとし、
とαとの交点をFとする。E，Fの座標を求めよ。 (2) 
と
のなす角をθ (
)とするとき、
の値を求めよ。 (3) △DEFの面積を求めよ。
[解答へ]
横浜国大理工数学'11年前期[3]
1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを
，
(
)，
となるようにとる。
，
，
とおくとき、次の問いに答えよ。
(2) 
のとき、t の値を求めよ。 (3) 3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき、線分BGの長さをt を用いて表せ。
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を
，
，
を用いて表せ。
，
および
の値を求めよ。
の面積Sを
，
，
を用いて表せ。
，
，
，
，
を
，
，
，t を用いて表せ。