物体から出てレンズの中心を通過した光線はそのまま直進する。
物体から出て、凸レンズの物体側焦点を通過した光線は、凸レンズの球面状表面で屈折した後、光軸と平行に進む。
物体
ガラスでできている球を平面で切るときの小さい側、あるいは、小さい側を2個切り口を背にして貼り合わせたものを凸レンズと言う。物体ABが凸レンズの焦点よりも遠くに置かれた場合、物体の各点から出ていろいろな方向に進んだ光線は、凸レンズを通過した後に、右図のように、線分
上に集まり、ここに像を作る。スクリーンを置くと、元の物体と同じ形が映って見えるので実像と言う。凸レンズの実像は、元の物体が倒立して見える。
物体ABが凸レンズの焦点よりも近くに置かれた場合、凸レンズを通過した光線は実像を作らず、右図のように、凸レンズの物体側に虚像を作る。虚像
は、そこにスクリーンを置いても、元の物体と同じ形は見えない。また、元の物体と同じ向きとなり正立して見える。レンズを通過後の光は、あたかも虚像位置に物体があって、そこから光が直進しているかのように進む。
物体ABが凹レンズの前に置かれた場合、右図のように、凹レンズの物体側に虚像
ができる。虚像は正立して見える。
･･･(＊)
，
であるが、凸レンズで正立の虚像ができる場合は、虚像は物体側にできるので、
として考えれば(＊)が成立する。
，
として考えれば(＊)が成立する。
･･･① が成り立つとします。
光軸上に置かれた点光源Aから出た光が、凸レンズの左側の面上の点Pで屈折する状況を右図に示します。Pから光軸に垂線PHを下ろし、
，
，光軸とAPのなす角をα，凸レンズの球面の中心をOとして半径OPと光軸のなす角を
，光軸と屈折光のなす角をφ，
とします。
，屈折角は
なので、屈折の法則より、
･･･②
，
，
･･･③
③によって屈折した光が、凸レンズの右側の面上の点Qで屈折して光軸上の点Bに到達する状況を右図に示します。Qから光軸に垂線QJを下ろし、
，
，光軸とBQのなす角をβ，半径OQと光軸のなす角を
，
とします(左側の球面と右側の球面の半径が同一とは限りません)。
，屈折角は
なので、屈折の法則より、
･･･④
，
，
･･･⑤
ここで、
，
，
，φの関係を右図に示します。
とし、
として考えることにします。
で割って整理すると、
･･･⑥
とおけば、レンズの公式(＊)が得られます。
光軸上に置かれた点光源Aから出た光が、凹レンズの左側の面上の点Pで屈折する状況を右図に示します。Pから光軸に垂線PHを下ろし、
，
，光軸とAPのなす角をα，凹レンズの球面の中心をOとして半径OPと光軸のなす角を
，光軸と屈折光のなす角をφ，
とします。
，屈折角は
なので、屈折の法則より、
･･･⑦
，
，
･･･⑧
④によって屈折した光が、凹レンズの右側の面上の点Qで屈折し、あたかも光軸上の点Bから出て直進するかのように進む状況を右図に示します。Qから光軸に垂線QJを下ろし、
，
，光軸とBQのなす角をβ，半径OQと光軸のなす角を
，
とします。この状況は、凸レンズのときの右側レンズ面における屈折と同一で、ここでも⑤が得られます。
で割って整理すると、
の符号を変えたものに相当します。
となる位置に物体を置き実像が物体と反対側にできる場合(
，
)と、凹レンズの場合(
，
)について、レンズの公式(＊)が成り立ちます。
右図で、Aから出て光軸に平行に進んだ光線は、凸レンズの点Cで屈折して焦点
に向かって進みます。Aから出て凸レンズの中心Oを通過した光線はそのまま直進し、Cで屈折して進んできた光線と
で交わり、物体ABの実像
を作ります。
は相似なので、
･･･⑨
と三角形
は相似なので、
･･･⑩
より、
を与えます。
右図で、Aから出て光軸に平行に進んだ光線は、凹レンズの点Cで屈折して焦点
から出て直進するかのように進みます。Aから出て凹レンズの中心Oを通過した光線はそのまま直進します。
とAOの交点
の位置に物体ABの虚像
ができます。
と三角形
は相似なので、
･･･⑪
と三角形
は相似なので、
･･･⑫
より、
で割って整理すると、
，
とした式です。なお、⑪式が凹レンズの倍率
を与えます。