線積分
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平面上の曲線C：
の
の部分の長さsを考えます。
まず、この曲線の
の部分をn等分して、その一つ分をほぼ長さ
の線分であると見なし、その線分を対角線とする長方形を考えます。長方形の各辺は、x軸，y軸に平行とし、x軸に平行な辺の長さが
，y軸に平行な辺の長さが
だとします。
，
の極限で、
，
，
とすると、
，
ここで、
は、経路Cに沿って積分するという意味です。
よって、曲線に沿った微小な長さを
として、曲線の長さsは、
で与えられます。
曲線C上で経路に沿った長さsの関数
の経路に沿った積分
は、
をxの関数として表したとき
として、
この積分をスカラー
の線積分と言います。
曲線
の接線がx軸となす角をθ とすると、
なので、
とも書けます。
曲線Cの接線方向の単位ベクトルを
(θ は
とx軸，φは
とy軸のなす角)，ベクトル
の成分
がxの関数、
がyの関数だとして、
より、
この積分をベクトル
の線積分と言います。当ウェブサイトでは、
を線素と呼ぶことにします。
経路Cが特に閉曲線である場合には、線積分を、
，
のように書きます。
空間中の曲線Cについても、同様の議論によって、曲線の長さを
曲線Cの接線方向の単位ベクトルを
，線素を
として、ベクトル
の線積分を
と考えます。
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