位置エネルギー   関連問題


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 保存力がある場合、保存力に逆らって外力のする仕事位置エネルギーと言う。
位置エネルギーの単位も
運動エネルギーと同じく[J]になる。

解説 位置エネルギー、即ち、保存力に逆らって外力のする仕事は、積分を使って書くと、となります。
保存力のする仕事とは、の関係があります。
一次元で考える場合、という関係のあることが知られています。このとき、


位置エネルギーは、という形をしています。位置エネルギーは、出発点と終着点の位置で決まり、運動の経路には依存しない、ということが特徴です。
運動の経路に沿って
保存力が一定の値であれば、力の大きさ経路の長さsとして、位置エネルギーUは、となります。

位置エネルギー基準にとる点を変えると異なる値になります。一つの問題を解く間は、基準を定めて問題を解くように注意してください。
として、
位置xにおける位置エネルギーは、です。

例1 質量mの物体に働く重力があるとき、基準の位置から高さxの位置における位置エネルギーは、

例2 自然長の位置からxだけバネを伸ばした位置での弾性力があるとき、自然長の位置()を基準として、位置xでの位置エネルギーは、
注.鉛直に設置されたバネ(天井から吊り下げられているような場合)では、注意すべきことがあります。
天井から吊り下げられたバネ定数k自然長の長さLのバネに、質量mのおもりを取り付けたところ、自然長の位置からdだけ伸びたとします(この位置をつり合いの位置と呼びます)。バネの弾性力重力との力のつり合いより、
 ∴  ・・・@
おもりの位置エネルギーは、自然長の位置を基準にすると、弾性エネルギー重力による位置エネルギー,合わせて、

この式で、は定数ですが、自然長の位置を基準にしたときのつり合いの位置におけるおもりの位置エネルギーです。
そこで、つり合いの位置を基準にとって位置エネルギーを考えるととなり、バネを横向きに置いて
xだけ伸ばしたときの弾性力による位置エネルギーの形になります。そこで、天井から吊り下げられたバネにおもりを取り付けてつり合いの位置からバネがx伸びたたときの位置エネルギーで考えてしまおう、という技巧があります。自然長を基準に取るときと比べて問題が簡単な計算で解けてしまうことが多いのですが、自然長の位置を基準にとっているUは、重力の位置エネルギーを含めて考えなければいけません。また、つり合いの位置を基準にとっているは、弾性力の位置エネルギーと重力の位置エネルギーを合わせた位置エネルギーであることに注意してください。位置エネルギーをとしてしまうと重力の位置エネルギーを二重に含めることになり、間違いになるので注意してください。


例3 質量Mの物体から距離x離れた位置にある質量mの物体に働く万有引力があるとき、無限遠を基準として、位置xにおける位置エネルギーは、

例4 電気量Q電荷から距離x離れた位置にある電気量q電荷に働くクーロン力があるとき、無限遠を基準として、位置xにおける位置エネルギーは、
 (Qqは正負を考えます)


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