面積分 関連問題
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空間内のある曲面U上で定義され、曲面U上の点
における値が
で与えられる関数があったとします。
曲面U上の点が、
，
，
を満たしている(これ以外の場合は、もっと複雑になります)とします。
は、x，yの関数です。
yを固定し、
から
まで、xについて、
を積分します。
はyの関数です。
から
まで、yについて、
を積分したもの、
を、
･･･①
の曲面Uにおける面積分と言います。
点P
における曲面Uの接平面をKとします。
点Pを通りxy平面に垂直かつx軸に平行な平面でKを切ると、切り口にできる曲線の接線の方向ベクトルは
です。
点Pを通りxy平面に垂直かつy軸に平行な平面でKを切ると、切り口にできる曲線の接線の方向ベクトルは
です。
接平面Kの法線ベクトルは、この2つのベクトルが作る平面に垂直なベクトルなので、両者の外積を求めると、
このベクトルの大きさは、
となるので、接平面の法線ベクトル
がx軸，y軸，z軸となす角をθ，φ，ϕとして、
を満たすようにすると、
です。
接平面K上にとった微小部分
の面積を
，
のxy平面への正射影が
だとして、
です(同様に、
，
)。
①において、
のとき、つまり、
は、曲面Uの面積を表します。
また、上記より、面積分を、
と書くこともできます。同様にして、
を考えることができます。
曲面U上で定義され、曲面U上の点P
においてベクトル値
をとる関数を考えます。
と見て、上記の面積分Iを考えると、
･･･②
･･･③
･･･④
と平行、つまり、点Pにおける曲面Uの接平面Kと垂直(向きは閉曲面では曲面の外側に出る向きとします)で大きさがdSであるベクトル
を考えると、
とx軸，y軸，z軸とのなす角を、θ ，φ，ϕとして、上記より、
です。すると、
となりますが、この
をベクトル
の曲面Uにおける面積分と言います。この
を等ウェブ・サイトでは、面積素片と呼ぶことにします。
点
において、大きさが
，向きが
の向きとなるような流れがあって、③，④，②のJ，K，Iは、この流れのx軸方向、y軸方向、z軸方向の流量を表しています。
面積分：
は、曲面Uを通して流れ出す流量を表します。
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