センター数学IIB '13年第4問
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，
である平行四辺形OABCにおいて、線分OAを3：2に内分する点をDとする。また、点Aを通り直線BDに垂直な直線と直線OCの交点をEとする。ただし、
とする。
以下、
，
とおき、実数t を用いて
と表す。
(1) t を
を用いて表そう。 となるので、
により 
･･･①となる。
(2) 点Eは線分OC上にあるとする。θ のとり得る値の範囲を求めよう。ただし、線分OCは両端の点O，Cを含むものとする。以下、
とおく。 点Eが線分OC上にあることから、
である。
なので、①の右辺の
をrに置き換えた分母
は正である。したがって、条件
は 
･･･②となる。
rについての不等式②を解くことにより、θ のとり得る値の範囲は
であることがわかる。
(3) 
とする。直線AEと直線BDの交点をFとし、三角形BEFの面積を求めよう。①により、
となり となる。したがって、点Fは線分AEを1：
に内分する。このことと、平行四辺形OABCの面積は
であることから、三角形BEFの面積は
である。
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解答 問題構成が昨年までと変わり、この問題で三角関数を扱っている関係もあり、(3)はセンター試験としてはやや難度が高くなっています。
(1) 
，
･･･③ (ア) 2 (イ) 5 ......[答]
･･･⑤ (内積を参照)(ウ) 2 (エ) 0 ......[答]
より、
(オ) 0 ......[答]⑤を用いて、 ∴ 
･･･①(カ) 5 (キ) 2 (ク) 4 (ケ) 2 ......[答]
(2) ②より、
左の不等号より、
∴ 
右の不等号より、
∴ 
よって、
∴ 
(三角関数を含む不等式を参照)
(コ) 3 (サ) 2 (シ) 3 ......[答]
(3) ①より、
(ス) 1 (セ) 2 ......[答]よって、
となり、EはOCの中点。
③を用いて、
とおくと、 
･･･⑥また、FはBD上の点なので、
･･･⑦⑥，⑦の係数を比較して、
，
∴ 
，
⑥より、
(ソ) 2 (タ) 3 (チ) 1 (ツ) 6 ......[答]
より、FはAEを1：2に内分する点です。(テ) 2 ......[答] 平行四辺形OABCの面積
は、 (ト) 1 (ナ) 5 (ニ) 7 (ヌ) 2 ......[答]三角形BEFの面積
は、 (ネ) 5 (ノ) 7 (ハ) 2 ......[答]
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