東北大文系数学'10年後期[2]
△OABにおいて、辺OAを1：1に内分する点をM，辺OBを2：1に内分する点をNとし、線分ANと線分BMの交点をPとする。以下の問いに答えよ。
(2) 
とする。辺OAを含む直線をl，辺OBを含む直線をmとする。△ABPの外接円がl，mに接するとき、内積
を求めよ。
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解答 (1)は2通りの解法を書いておきます。教科書通りの解法と、別解のおすすめ解法です。(2)はかなり面倒で、無闇に計算すると何をやっているのかわからなくなります。
(1) M，P，Bが一直線上の点であることから、MP：PB = 
：t として、 
より、
･･･①N，P，Aが一直線上の点であることから、NP：PA = 
：s として、 
より、
･･･②
，
が1次独立であることから、①，②の係数を比較して、
，
連立して解くと、
，
①より、
......[答]∴ MP：PB = 1：1
よって、
(2) △ABPの外接円の中心をQとします。
外接円がl，mに接するので、
，
，これより、 ∴ 
･･･③ ∴ 
また、△OAQ≡△OBQより、
，
･･･④
一方、点Qは、辺PAの垂直二等分線と辺PBの垂直二等分線の交点です。PA，PBの中点をC，Dとすると、 
，
･･･⑤
より、
(∵ ⑤)ところで、(1)の結果より、
(∵ ③，④)
･･･⑦
(∵ ③，④) ･･･⑧⑦，⑧を⑥に代入して、
∴ 
......[答]注．(2)の計算のポイントは、③，④をうまく利用できるかというところにあります。
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を
と
を用いて表せ。
(∵ 
)
(∵ ③)
･･･⑥
