一橋大数学'09年後期[2]
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a，bを
となる実数とし、
とおく。
(1) 
を示せ。 (2) 区間
における
の最大値および最小値を求めよ。ただし、最大値、最小値を与えるxの値は求めなくてよい。
解答 3次曲線
のグラフの特質を活かして解答しましょう。
より
の増減表は以下のようになります(3次関数の増減を参照)。
とすると、
･･･①∴ 
注．なぜ、①のように因数分解できるか、と言えば、
は極大値
をもつので、x軸に平行な直線：
と曲線
は
で接していて、方程式：
は
を重解にもつことがわかっているからです。
の係数を見れば、解と係数の関係より、もう1つの解が
だとわかります。
また、右図のように、
，
，
，
とするとき、c，a，
(変曲点の位置)，b，dはこの順に等差数列になっていることにも注意してください。ここからも、
，
とわかります。
また、同様に、
とすると、
∴ 
(2) 
なので、曲線
は原点を通ることに注意します。 
を考えるとき、
となるところ、つまり、x軸がどの辺を通るか、ということが問題になります。
(i) 
，つまり、
，
のとき、x軸は極小を与える点
から下を通ります。このとき、
において、
なので
であって、
最大値は
，最小値は
です。 (ii) 
，つまり、
のとき、x軸は極小を与える点
よりも上を通ります。 このとき、
より
であることに注意すると、方程式：
は
，
にそれぞれ1解p，qをもちます。つまり、このとき、
，
です。
において、
となるので
であり、この範囲では、
が最大になりますが、
においては、
と
の大きい方が最大値になります。そこで、
と
の差を調べてみます。 以上より、
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であり、
において
は増加関数だから、
のとき、最大値：
，最小値：
のとき、最大値：
，最小値：
のとき、最大値：
，最小値：
......[答]
のとき正で、
のとき負で、