慶大理工数学'20[1]

(1) iを虚数単位とする。複素数平面上では、かつを満たしながら動くとする。ただし、xyは実数である。このとき、点zのえがく図形をCとする。また、C上に2をとったとき、線分の中点をMとする。

(i) とする。点C上を動くとき、Mのえがく曲線と実軸で囲まれた部分の面積はである。

(ii) 2を満たしながらC上を動くとき、Mがえがく曲線の長さはである。ただし、と共役な複素数である。

(2) 次の2つの放物線
を考える。上の点Pから2本の接線を引く。これら2本の接線との接点をABとする。ただし、点Ax座標は点Bx座標より小さいとする。このとき、点Ax座標は、tを用いて表すととなる。
次に、線分
PA12に内分する点をQ,線分QB23に内分する点をRとする。このとき、である。点P上を動くとき、点Rの軌跡の方程式はである。

解答 まずはウォーミング・アップから、という標準的計算問題です。答のみなので、()()は暗算でOKでしょう。

(1)(i) のとき、Mを表す複素数,よって、
かつ,より、かつ,つまり、かつ
よって、
複素数平面上で、Mを中心とする半径の円のx軸から上の部分を描き、実軸とで囲んでできる図形は、半径の半円で、その面積は、 ......[]

(ii) より、
よって、,また、 ()
を満たしながら単位円のの部分を動くので、Mを表す複素数の偏角θとして、Mは、原点Oを中心とする半径の円のの部分(右図太線、円周の)を描き、その長さは、 ......[]

(2) 上の点における接線は、より、
接線はPを通るので、


Ax座標は小さい方で、 ......[]
Bx座標はAの座標はBの座標は

Qは線分PA12内分する点、Rは線分QB23に内分する点なので、
......[]
より、点R軌跡の方程式は、 ......[]



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