慶應大学理工学部2020年数学入試問題

[1](1) iを虚数単位とする。複素数平面上では、かつを満たしながら動くとする。ただし、xyは実数である。このとき、点zのえがく図形をCとする。また、C上に2をとったとき、線分の中点をMとする。

(i) とする。点C上を動くとき、Mのえがく曲線と実軸で囲まれた部分の面積はである。

(ii) 2を満たしながらC上を動くとき、Mがえがく曲線の長さはである。ただし、と共役な複素数である。

(2) 次の2つの放物線
を考える。上の点Pから2本の接線を引く。これら2本の接線との接点をABとする。ただし、点Ax座標は点Bx座標より小さいとする。このとき、点Ax座標は、tを用いて表すととなる。
次に、線分
PA12に内分する点をQ,線分QB23に内分する点をRとする。このとき、である。点P上を動くとき、点Rの軌跡の方程式はである。
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[2](1) を整式とし、の導関数とする。このとき、が方程式の解となることは、が方程式2重解となるための必要条件であることを証明しなさい。

(2) k0でない実数を動くとき、放物線と円の共有点の個数は最大で個である。

(3) (2)において、放物線と円の共有点の個数がちょうど1個となるkを考える。このとき、共有点のx座標はkの値によらずである。また、kの取り得る値はである。
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[3] 赤い玉と白い玉が3個ずつ入った箱があり、次のような操作を繰り返す。表の出る確率がp,裏の出る確率がのコインを投げ、

● 表が出た場合、1個の玉を箱から取り出す。

● 裏が出た場合、2個の玉を同時に箱から取り出す。

(1) とし、各操作で取り出した玉はもとの箱に戻すものとする。2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率はである。
また、3回の操作で取り出した玉の総数が5個であるという条件の下で、取り出した玉の色がすべて赤である確率はである。

(2) とし、各操作で取り出した玉は箱に戻さないものとする。2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率はである。

(3) とし、各操作で取り出した玉は箱に戻さないものとする。3回の操作で赤い玉と白い玉をちょうど2個ずつ取り出す確率はである。
また、3回の操作で取り出した赤い玉と白い玉の数が等しい確率がとなるのはのときである。
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[4] 実数全体で定義された連続な関数に対し、
とおく。

(1) のとき、である。

(2) 実数全体で定義された連続な関数に対し、は奇関数であることを示しなさい。

(3) のとき、の導関数を求めると、である。

(4) が偶関数であり、となるとき、である。このとき、の値はである。
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[5] 平行四辺形ABCDにおいて、とし、対角線ACの長さを4とする。辺ABBCCDDA上にそれぞれ点EFGHを満たすようにとる。ただし、xの範囲を動くとする。さらに、対角線AC上に点Pを満たすようにとる。以下では、平行四辺形ABCDの面積をSとする。

(1) AEPの面積をとする。は、xを用いて表すととなる。

(2) EFPの面積をとする。は、のとき最大値をとる。

(3) GHPの面積をとする。となるのはのときである。

(4) Pが線分EH上にあるのはのときである。
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