慶大理工数学'20[5]

平行四辺形ABCDにおいて、とし、対角線ACの長さを4とする。辺ABBCCDDA上にそれぞれ点EFGHを満たすようにとる。ただし、xの範囲を動くとする。さらに、対角線AC上に点Pを満たすようにとる。以下では、平行四辺形ABCDの面積をSとする。

(1) AEPの面積をとする。は、xを用いて表すととなる。

(2) EFPの面積をとする。は、のとき最大値をとる。

(3) GHPの面積をとする。となるのはのときである。

(4) Pが線分EH上にあるのはのときである。

解答 標準的な計算問題です。

(1)() ABC面積は、です。これより、
......[]

(2)() BEF,△CFP面積とすると、(1)と同様にして、



とおくと(3次関数の最大最小を参照)

x0

2
00
00

増減表より、が最大になるのは、 ......[] のとき。
() 最大値は、 ......[]

(3)() AHP,△CGP,△DGHの面積をとすると、




より、
注.組み立て除法をやってみると、

あとは、と因数分解します。
より、 ......[]

(4)()  ・・・A (ベクトルの1次独立を参照)
Pが線分EH上にあるとき、として、
 ・・・B (平面ベクトルの応用を参照)
A,Bのの係数を比較して、

より、

より、,このとき、は、より、を満たすので、 ......[]



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