慶大理工数学'20[3]

赤い玉と白い玉が3個ずつ入った箱があり、次のような操作を繰り返す。表の出る確率がp,裏の出る確率がのコインを投げ、

● 表が出た場合、1個の玉を箱から取り出す。

● 裏が出た場合、2個の玉を同時に箱から取り出す。

(1) とし、各操作で取り出した玉はもとの箱に戻すものとする。2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率はである。
また、3回の操作で取り出した玉の総数が5個であるという条件の下で、取り出した玉の色がすべて赤である確率はである。

(2) とし、各操作で取り出した玉は箱に戻さないものとする。2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率はである。

(3) とし、各操作で取り出した玉は箱に戻さないものとする。3回の操作で赤い玉と白い玉をちょうど2個ずつ取り出す確率はである。
また、3回の操作で取り出した赤い玉と白い玉の数が等しい確率がとなるのはのときである。

解答 「2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤」という表現に早合点しないように。2回目の玉の色が赤、と言っているのではなく、1回目の玉の色がすべて赤であってかつ2回目の玉の色もすべて赤、ということです。

(1)() 各操作で取り出した玉を元に戻すので、1回目、2回目で同じことが繰り返されます。1回の操作において、
・表が出た場合(確率)、取り出された1個が赤である確率 ・・・@
・裏が出た場合(確率、取り出された2個がともに赤である確率は、全事象が6個の玉から2個をとるので通り、2個がともに赤になるのは3個の赤玉から2個をとるので通り、よって、 ・・・A
2個とも赤の確率は、
2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率は、 ......[]

() 3回の操作で取り出した玉の個数が5(1個+2個+2)になるのは、3回の操作のうち2回が裏、1回が表、となるときで、3回の操作のどの回で表が出るかが3通りあり、その確率は、
例えば、1回目が表で2回目と3回目が裏の場合、@,Aより、すべて赤玉になる確率は、
2回目が表で1回目と3回目が裏の場合も、3回目が表で1回目と2回目が裏の場合も同じくで、3回の操作で取り出した玉がすべて赤となる確率は、
3回の操作で取り出した玉の総数が5個であるという条件の下で、取り出した玉の色がすべて赤である確率は、 ......[] (条件付き確率を参照)

(2)() 各操作で取り出した玉は箱に戻さないので、1回目と2回目では玉の個数に違いがあります。
(i) 1回目が表(確率)のとき、取り出される1個が赤の確率は、6個から3個の赤のうちの1個をとり(確率)
2回目が表(確率)のとき、取り出される1個が赤の確率は、5個から2個の赤のうちの1個をとる確率で
2回目が裏(確率)のとき、取り出される2個がともに赤の確率は、5個から2個取って、2個とも赤の確率で
(ii) 1回目が裏(確率)のとき、6個の玉から2個取るのが通り、3個の赤のうち2個をとるのが通り、取り出される2個がともに赤の確率は、
2回目が表(確率)のとき、取り出される1個が赤の確率は、4個の玉から1個の赤をとる確率で
2回目が裏のとき、取り出される2個がともに赤(だとすると赤玉が4個になってしまいます)ということは起こりません。
以上より、2回の操作で取り出した玉の色がすべて赤である確率は、
......[]

(3)() 3回の操作で赤玉と白玉を2個ずつ取り出すので、3回の操作で4個の玉を取り出すことになります。つまり、3回の操作のうち、2回が表(確率p)1回が裏(確率)です。3回のうちどの回が裏かが3通りあります。例えば、表表裏と出たとして、6個の玉を取り出す順に並べるとき、6個のうちどの3個を赤玉にするかが通りあって同様に確からしく、そのうち、取り出される4個の中でどの2個を赤玉にするかが通り、取り出される4個以外の2個のどちらが赤かが2通り(右図を参照)。表裏表、裏表表でも同じです。
よって、3回の操作で赤い玉と白い玉をちょうど2個ずつ取り出す確率は、
......[] (独立試行の確率を参照)
別解.例えば、表表裏と出るとき、各回、赤1個、赤1個、白2個と取り出す場合と、赤1個、白1個、赤白1個ずつ取り出す場合(ここでさらに、赤と白が入れ替わった場合がある)とが考えられます。
1回目に6個の玉から3個の赤玉のうちの1個を取り出す確率は2回目に5個の玉から2個の赤玉のうちの1個を取り出す確率は3回目は、4個の玉のうち2個を取り出すのが通り、そのうち3個の白玉のうちの2個を取り出すのが通りで確率は,表表裏と出て赤1個、赤1個、白2個と取り出す確率は、
表表裏と出て、1回目に赤を取り出したとき、2回目に3個の白玉のうちの1個を取り出す確率は3回目に2個の赤玉のうちの1個と2個の白玉のうちの1個を取り出す確率は,表表裏と出て赤1個、白1個、白赤1個ずつ2個と取り出す確率は、
上記で赤と白が入れ替わる場合を含めて、表表裏と出て、赤2個白2個を取り出す確率は、
表裏表、裏表表と出る場合も同じ確率で、求める確率は、

() 3回の操作で、3個以上の玉が取り出されるので、赤も白も1個ずつ取り出す、あるいは、赤も白も0個、ということは起こりません。3回の操作で、赤も白も3個ずつ取り出すときは、3回とも「裏が出て2個ずつ玉を取り出す」ので、6個全部取り出して赤も白も3個ずつになります。この確率はです。()も含めて赤白同数になる確率は、
これがに等しくなるとき、
より、

 ∴ ......[]



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