慶大理工数学'20年[2]

---

(1) を整式とし、をの導関数とする。このとき、が方程式の解となることは、が方程式の2重解となるための必要条件であることを証明しなさい。

(2) kが0でない実数を動くとき、放物線：と円：の共有点の個数は最大で個である。

(3) (2)において、放物線と円の共有点の個数がちょうど1個となるkを考える。このとき、共有点のx座標はkの値によらずである。また、kの取り得る値はである。

---

解答　素直に進めると(3)で行き詰まるかも知れません。(1)をうまく利用することを考えます。

(1) が方程式の2重解であれば、を整式として、

とおけます。このとき、

よって、は方程式の解であり、が方程式の解となることは、が方程式の2重解となるための必要条件です。(証明終)

(2) ：，：

連立すると、

　･･･�@

とおくと、

よって、はxの単調増加関数で、，より、方程式はただ1つの実数解αを持ちます。においてよりは単調減少、においてよりは単調増加、はにおいて最小値をもちます。

・のとき、方程式は実数解を持たず、との共有点はありません。

・のとき、方程式はただ1つの実数解を持ち、との共有点は1個です。

・のとき、方程式は2個の実数解を持ち、との共有点は2個です。

以上より、との共有点の個数は最大で2個 ......[答]
空所補充式で論述不要の慶大理工では、実戦的には、とのグラフを描けばこの結果は明らかです。

(3) (2)において、放物線と円の共有点の個数がちょうど1個のとき、(2)での検討よりとなりますが、の解αが求められません。そこで、(1)を利用して、αが、方程式と方程式の共通解であることを利用します。

　･･･�@
　･･･�A

両者から最高次の項を消すために、�@×4−�A×xを作ると、

　･･･�B
∴

�@，�Aの共通解αは、�Bの解にもなります。�Aでとすると、となるので、より、であり、共有点のx座標、つまり、�@，�Aの共通解は、 ......[答]
注．共通解がのとき、となり、kは実数になりません。
�Aでとして、

　∴ ， ......[答]

---

　　　慶大理工数学TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る

---

各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2021 (有)りるらる	苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。
	雑誌「大学への数学」出版元