慶大理工数学
'20
年
[2]
(1)
を整式とし、
を
の導関数とする。このとき、
が方程式
の解となることは、
が方程式
の
2
重解となるための必要条件であることを証明しなさい。
(2)
k
が
0
でない実数を動くとき、放物線
:
と円
:
の共有点の個数は最大で
個である。
(3) (2)
において、放物線
と円
の共有点の個数がちょうど
1
個となる
k
を考える。このとき、共有点の
x
座標は
k
の値によらず
である。また、
k
の取り得る値は
である。
解答
素直に進めると
(3)
で行き詰まるかも知れません。
(1)
をうまく利用することを考えます。
(1)
が方程式
の
2
重解であれば、
を整式として、
とおけます。このとき、
よって、
は方程式
の解であり、
が方程式
の解となることは、
が方程式
の
2
重解となるための
必要条件
です。
(
証明終
)
(2)
:
,
:
連立すると、
・・・@
とおくと、
よって、
は
x
の
単調増加関数
で、
,
より、方程式
はただ
1
つの実数解
α
を持ちます。
において
より
は
単調減少
、
において
より
は
単調増加
、
は
において最小値
をもちます。
・
のとき、方程式
は実数解を持たず、
と
の共有点はありません。
・
のとき、方程式
はただ
1
つの実数解
を持ち、
と
の共有点は
1
個です。
・
のとき、方程式
は
2
個の実数解を持ち、
と
の共有点は
2
個です。
以上より、
と
の共有点の個数は最大で
2
個
......[
答
]
空所補充式で論述不要の慶大理工では、実戦的には、
と
のグラフを描けばこの結果は明らかです。
(3) (2)
において、放物線
と円
の共有点の個数がちょうど
1
個のとき、
(2)
での検討より
となりますが、
の解
α
が求められません。そこで、
(1)
を利用して、
α
が、方程式
と方程式
の
共通解
であることを利用します。
・・・@
・・・A
両者から最高次の項を消すために、@×
4
−A×
x
を作ると、
・・・B
∴
@,Aの
共通解
α
は、Bの解にもなります。Aで
とすると、
となるので、
より、
であり、共有点の
x
座標、つまり、@,Aの共通解は、
......[
答
]
注.共通解が
のとき、
となり、
k
は実数になりません。
Aで
として、
∴
,
......[
答
]
慶大理工数学
TOP
数学
TOP
TOP
ページに戻る
各問題の著作権は出題大学に属します。
©
2005-2021
(有)りるらる
苦学楽学塾
随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾
苦学楽学塾
(ご案内は
こちら
)ご入会は、
まず、
こちらまでメール
をお送りください。
雑誌「
大学への数学
」出版元