京大理系数学'20年前期[3]
kを正の実数とする。座標空間において、原点Oを中心とする半径1の球面上の4点A，B，C，Dが次の関係式を満たしている。
このとき、kの値を求めよ。ただし、座標空間の点X，Yに対して、
は、
と
の内積を表す。
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解答 4点A，B，C，D は、原点を中心とする半径1の球面上の点なので、
，また、
(空間ベクトルを参照)より、
つまり、
，同様に、
従って、△OAB，△OCDは、1辺の長さ1の正三角形です。
また、問題文の条件式で、そのままAとBを入れ替えてみます。
条件に変化はありません。ですが、問題文の条件式でCとDを入れ替えると、
となり、
でもない限り条件が変化してしまいます。つまり、AとBには対称性があって、AとBの垂直二等分面(2点A，Bの中点をMとすると、Mを通り直線ABに垂直な面、この面をHとします)について対称な位置にあります。CとDには対称性はありません。
点Oは垂直二等分面H上にあります。そうでなければ、AとBを入れ替えると、
の値が変化してしまいます。
点Cと点Dも、同じ理由で、AとBを入れ替えたときに、
，
，
，
の値が変化してしまうので、垂直二等分面H上にあります。
空間の問題をできる限り容易に解くための技巧として、ある断面上で平面の問題として考える、という技巧があります。本問も、垂直二等分面H上で、平面ベクトルの問題として考えます。
O，M，C，D は同一平面H上にあり、
，
は一次独立なので、
は、c，dを実数として、
，
の一次結合で表されます。
･･･①
です。
･･･②
より、①を用いて、
∴ 
･･･③
②に代入して、
∴ 
，
③より、
①より、
一方、内積
の値は、空間ベクトルでも平面ベクトルでも変わらないので、問題文の条件より、
④において、
より、
......[答]
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･･･④ (ここまで、複合同順)
