京大理系数学'21年前期[1]

問1　xyz空間の3点A

，B

，C

を通る平面αに関して点P

と対称な点Qの座標を求めよ。ただし、点Qが平面αに関してPと対称であるとは、線分PQの中点Mが平面α上にあり、直線PMがPから平面αに下ろした垂線となることである。

問2　赤玉、白玉、青玉、黄玉が1個ずつ入った袋がある。よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し、その玉の色を記録してから袋に戻す。この試行を繰り返すとき、n回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ。ただしnは4以上の整数とする。

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つまり、

　･･･①
これより、平面αの法線ベクトルは、

，

は平面αと垂直で法線ベクトルと平行。よって、t を実数として、

とおけます。

Mは平面α上の点なので、

の各成分、つまりMの座標を①に代入して、

よって、Qの座標は、

......[答]

別解．上記では平面の方程式に関する知識を用いて解きましたが、平面の方程式を使わないのであれば、以下のようになります(空間ベクトルを参照)。

平面αの法線ベクトル、つまり、平面αに垂直なベクトル

は、

，

の双方に垂直なベクトルとして、

(外積)を、以下のように計算すると、

より、kを実数として、

，

は、平面α上のベクトルなので、

より、

(内積を参照)，よって、

これより、

となります。

問2　 n回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる、ということは、

回目までは、赤玉が出ず、かつ、白玉、青玉、黄玉が少なくとも1回は出て、n回目で赤玉が出る、ということです。「少なくとも」というキーワードが出てくるので余事象の方、つまり、

回目までに、白玉が1回も出ないか、または、青玉が1回も出ないか、または、黄玉が1回も出ない場合を考えます。

1回の試行で赤玉が出ない確率は

なので、

回目まで、赤玉が1回も出ない(右図で黒い円の内部)確率は、

　･･･①

注．以下、わかりにくいので、右図を見ながら考えてください。右図で、赤い円の内部は、赤玉に加えて青玉も1回も出ない場合、青い円の内部は、赤玉に加えて黄玉も1回も出ない場合、緑色の円の内部は、赤玉に加えて白玉も1回も出ない場合、3円が重なっている灰色領域Gは、赤玉も青玉も黄玉も白玉も1回も出ない場合ですが、これはあり得ないので空集合。

①のうちで、白玉だけ