京都大学理系2021年数学入試問題

[1]
 次の各問に答えよ。
1 xyz空間の3ABCを通る平面αに関して点Pと対称な点Qの座標を求めよ。ただし、点Qが平面αに関してPと対称であるとは、線分PQの中点Mが平面α上にあり、直線PMPから平面αに下ろした垂線となることである。
2 赤玉、白玉、青玉、黄玉が1個ずつ入った袋がある。よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し、その玉の色を記録してから袋に戻す。この試行を繰り返すとき、n回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ。ただしn4以上の整数とする。
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[2] 曲線上の点Pにおける接線はx軸と交わるとし、その交点をQとおく。線分PQの長さをLとするとき、Lが取りうる値の最小値を求めよ。
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[3] 無限級数の和を求めよ。
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[4] 曲線の部分の長さを求めよ。
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[5] xy平面において、2BCに対し、点Aは次の条件()を満たすとする。
() かつ点Ay座標は正。
次の各問に答えよ。

(1) ABCの外心の座標を求めよ。
(2) Aが条件()を満たしながら動くとき、△ABCの垂心の軌跡を求めよ。
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[6] 次の各問に答えよ。
1 n2以上の整数とする。が素数ならばnも素数であることを示せ。
2 a1より大きい定数とする。微分可能な関数を満たすとき、曲線の接線で原点を通るものが存在することを示せ。
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