東工大数学'20年前期[3]

座標空間に5
OABCP
をとる。さらに、に対して2QRを考える。
(1) PQRを通る平面をHとする。平面Hと線分ACの交点Tの座標、および平面Hと線分BCの交点Sの座標を求めよ。
(2) QRSTが同一円周上あるための必要十分条件をabを用いて表し、それを満たす点の範囲を座標平面上に図示せよ。

解答 本問は、空間図形のまま考察しようとすると、複雑になります。空間図形の問題では、平面上の話で考察できないか、ということをまず考えます。(1)では、Tを求めるときはxz平面上で、Sを求めるときはyz平面上で考えます。(2)では、空間上の4点では難しいですが、平面H上で考えれば、四角形が円に内接する条件でしかありません。

(1) 平面Hxz平面との交線は直線PQです。直線ACxz平面上にあるので、交点Txz平面上にあります。つまり、xz平面()上で、直線ACと直線PQとの交点として、Tの座標は、
直線PQ ・・・@ (直線の方程式を参照)
直線AC ・・・A
@+A×2より、 ∴  Aより、
T ......[] ()
平面Hyz平面との交線は直線PRです。直線BCyz平面上にあるので、交点Syz平面上にあります。つまり、yz平面()上で、直線BCと直線PRとの交点として、Sの座標は、
直線PR ・・・B
直線
BC ・・・C
B+C×2より、 ∴  Cより、
S ......[]  ()

(2) TSは、平面H上の点なので、QRSTはいずれも平面H上の点です。また、PQTは一直線上(zx平面と平面Hの交線上)PRSは一直線上(yz平面と平面Hの交線上)にあります。平面H上で考えると、四角形QRSTが円に内接する必要十分条件は、が互いに補角をなすこと、で、このとき、△PQRと△PSTにおいて、より,また共通より、
PQR PST (二角相等)
⇔ PQPS = PRPT ・・・D

Dより、

よって、 ・・・E,または、 ()
Eは、
のときのとき,漸近線は
QRSTが同一円周上あるための必要十分条件は、
,または、 () ......[]
図示すると、右図太線(白マルを除く)



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