東工大数学'20年前期[3]
座標空間に5点
をとる。さらに、
，
に対して2点Q
とR
を考える。
(1) 点P，Q，Rを通る平面をHとする。平面Hと線分ACの交点Tの座標、および平面Hと線分BCの交点Sの座標を求めよ。
(2) 点Q，R，S，Tが同一円周上にあるための必要十分条件をa，bを用いて表し、それを満たす点
の範囲を座標平面上に図示せよ。
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解答 本問は、空間図形のまま考察しようとすると、複雑になります。空間図形の問題では、平面上の話で考察できないか、ということをまず考えます。(1)では、Tを求めるときはxz平面上で、Sを求めるときはyz平面上で考えます。(2)では、空間上の4点では難しいですが、平面H上で考えれば、四角形が円に内接する条件でしかありません。
(1) 平面Hとxz平面との交線は直線PQです。直線ACもxz平面上にあるので、交点Tもxz平面上にあります。つまり、xz平面(
)上で、直線ACと直線PQとの交点として、Tの座標は、 直線PQ：
･･･① (直線の方程式を参照)直線AC：
･･･② T
......[答] (
) 平面Hとyz平面との交線は直線PRです。直線BCもyz平面上にあるので、交点Sもyz平面上にあります。つまり、yz平面(
)上で、直線BCと直線PRとの交点として、Sの座標は、 直線PR：
･･･③
直線BC：
･･･④ S
......[答] (
)
(2) T，Sは、平面H上の点なので、Q，R，S，Tはいずれも平面H上の点です。また、P，Q，Tは一直線上(zx平面と平面Hの交線上)、P，R，Sは一直線上(yz平面と平面Hの交線上)にあります。平面H上で考えると、四角形QRSTが円に内接する必要十分条件は、
と
が互いに補角をなすこと、で、このとき、△PQRと△PSTにおいて、
，
より
，また
共通より、△PQR ∽ △PST (二角相等)
⇔ PQ：PS = PR：PT ･･･⑤
⑤より、
点Q，R，S，Tが同一円周上あるための必要十分条件は、
図示すると、右図太線(白マルを除く)
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，A
，B
，C
，P
∴ 
∴ 
･･･⑥，または、
(
，
)
⑥は、
，または、
(
，
) ......[答]
， 
， 
， 
， 
，
のとき
，漸近線は
，