東京工業大学2020年前期数学入試問題
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[1] 次の問いに答えよ。
(1) 
の値が、3を法として2に合同である正の整数xをすべて求めよ。 (2) k個の連続した正の整数
，･･･，
に対して、 
(
)の値がすべて素数になるkの最大値と、そのkに対する連続した正の整数
，･･･，
をすべて求めよ。ここでk個の連続した整数とは、 となる列のことである。
[解答へ]
[2] 複素数平面上の異なる3点A，B，Cを複素数α，β，γで表す。ここでA，B，Cは同一直線上にないと仮定する。
(1) △ABCが正三角形となる必要十分条件は、
であることを示せ。
(2) △ABCが正三角形のとき、△ABCの外接円上の点Pを任意にとる。このとき、
および
を外接円の半径Rを用いて表せ。ただし、2点X，Yに対し、XYとは線分XYの長さを表す。
[解答へ]
[3] 座標空間に5点
をとる。さらに、
，
に対して2点Q
とR
を考える。
(1) 点P，Q，Rを通る平面をHとする。平面Hと線分ACの交点Tの座標、および平面Hと線分BCの交点Sの座標を求めよ。
(2) 点Q，R，S，Tが同一円周上あるための必要十分条件をa，bを用いて表し、それを満たす点
の範囲を座標平面上に図示せよ。 [解答へ]
[4] nを正の奇数とする。曲線
(
)とx軸で囲まれた部分を
とする。直線
を
とおき、
の周りに
を1回転させてできる回転体を
とする。
(1) 
に対して、点
をPとおく。また、Pから
に下ろした垂線とx軸の交点をQとする。線分PQを
の周りに1回転させてできる図形の面積をxの式で表せ。 (2) (1)の結果を用いて、回転体
の体積をnの式で表せ。 [解答へ]
[5] kを正の整数とし、
とおく。
(1) 
を
とkを用いて表せ。 (2) kを限りなく大きくするとき、数列
の極限値Aを求めよ。 (3) (2)の極限値Aに対し、kを限りなく大きくするとき、数列
が0ではない値に収束する整数m，n (
)を求めよ。また、そのときの極限値Bを求めよ。 (4) (2)と(3)の極限値A，Bに対し、kを限りなく大きくするとき、数列
が0ではない値に収束する整数p，q，r (
)を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。 [解答へ]
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