東工大数学'21年前期[4]

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Sを、座標空間内の原点Oを中心とする半径1の球面とする。S上を動く点A，B，C，Dに対して

とおく。以下の問いに答えよ。

(1) ，，，とするとき、，，，によらない定数kによって

と書けることを示し、定数kを求めよ。

(2) 点A，B，C，Dが球面S上を動くときの、Fの最大値Mを求めよ。

(3) 点Cの座標が，点Dの座標がであるとき、となるS上の点A，Bの組をすべて求めよ。

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解答風変わりな問題で、何らかの背景があるように感じますが、寡聞にして知りません。凝らずに、素直に計算して行けば自然にゴールにたどり着きます。
(2)で、という式が出てきますが、これだけでは、が必要条件と言えるだけです。実はであって、になる場合が存在しない、ということがあるかも知れません。「Fの最大値が」が十分条件と言えるためには、になるのがどういう場合か、ということを明示しなければいけません。それが(3)です。

A，B，C，Dは、原点Oを中心とする半径1の球面上の点なので、

，，，

同様に、，，，，より、

　･･･�@

(1) 　･･･�A

�@と比較して、，，であればよく、 ......[答]

(2) �Aにおいて、とおくと、より、

　･･･�B

なので、となることがあれば、そのときF最大となりますが、となるとき、です。ODの中点をEとして、△ABCの重心がEになります。例えば、A，B，Cが、Eを通りODに垂直な面で球面Sを切ったときの切り口にできる円周上の点で、正三角形をなすような位置にあれば、こうした状況になります。具体的に書くと、D，E，A，B，Cのとき、であって、△ABCの重心がEになります。よって、のとき、Fの最大値： ......[答]

(3) となるとき、(2)より、となります。つまり、

　･･･�C

∴

なので、これは、であることを意味します。
よって、�Cより、
A，B ......[答]

注．(2)で、Fの最大値はとし、(3)で論証します、と注意書きをつけておく、という解答の書き方もあり得ます。

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