東工大数学
'21
年前期
[4]
S
を、座標空間内の原点
O
を中心とする半径
1
の球面とする。
S
上を動く点
A
,
B
,
C
,
D
に対して
とおく。以下の問いに答えよ。
(1)
,
,
,
とするとき、
,
,
,
によらない定数
k
によって
と書けることを示し、定数
k
を求めよ。
(2)
点
A
,
B
,
C
,
D
が球面
S
上を動くときの、
F
の最大値
M
を求めよ。
(3)
点
C
の座標が
,点
D
の座標が
であるとき、
となる
S
上の点
A
,
B
の組をすべて求めよ。
解答
風変わりな問題で、何らかの背景があるように感じますが、寡聞にして知りません。凝らずに、素直に計算して行けば自然にゴールにたどり着きます。
(2)
で、
という式が出てきますが、これだけでは、
が必要条件と言えるだけです。実は
であって、
になる場合が存在しない、ということがあるかも知れません。「
F
の最大値が
」が十分条件と言えるためには、
になるのがどういう場合か、ということを明示しなければいけません。それが
(3)
です。
A
,
B
,
C
,
D
は、原点
O
を中心とする半径
1
の球面上の点なので、
,
,
,
同様に、
,
,
,
,
より、
・・・@
(1)
・・・A
@と比較して、
,
,
であればよく、
......[
答
]
(2)
Aにおいて、
とおくと、
より、
・・・B
なので、
となることがあれば、そのとき
F
最大となりますが、
となるとき、
です。
OD
の中点を
E
として、△
ABC
の重心が
E
になります。例えば、
A
,
B
,
C
が、
E
を通り
OD
に垂直な面で球面
S
を切ったときの切り口にできる円周上の点で、正三角形をなすような位置にあれば、こうした状況になります。具体的に書くと、
D
,
E
,
A
,
B
,
C
のとき、
であって、△
ABC
の重心が
E
になります。よって、
のとき、
F
の最大値:
......[
答
]
(3)
となるとき、
(2)
より、
となります。つまり、
・・・C
∴
なので、これは、
であることを意味します。
よって、Cより、
A
,
B
......[
答
]
注.
(2)
で、
F
の最大値は
とし、
(3)
で論証します、と注意書きをつけておく、という解答の書き方もあり得ます。
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