東工大数学'24年前期[3]
xy平面上に、点A，B，C (ただし)をとる。点A，Bを通る直線をとし、点Cを通り線分BCに垂直な直線をkとする。さらに、点Aを通りy軸に平行な直線と直線kとの交点をとし、点を通りx軸に平行な直線と直線との交点をとする。以下、に対して、点を通りy軸に平行な直線と直線kとの交点を，点を通りx軸に平行な直線と直線との交点をとする。
(1) 点，の座標を求めよ。
(2) △の面積を求めよ。
(3) を求めよ。


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解答　以下では、素直に2項間漸化式の問題として解答しますが、計算が猛烈で、実戦的には時間不足になりかねません。相似比から公比だけにスポットを当て等比数列の和として解くなど、より効率的な解法が考えられます。

点A，Bを通る直線：　･･･①
直線BCの傾きは，これと垂直な直線の傾きは，
直線k：　･･･②
点Aを通りy軸に平行な直線：と直線kとの交点は、②でとして、
よって、の座標は　･･･③
点を通りx軸に平行な直線：と直線との交点は、①でとして、

よって、の座標は　･･･④

(1) の座標をとします。④より、，　･･･⑤
点を通りy軸に平行な直線：と直線kとの交点は、②でとして、
よって、の座標は　･･･⑥
点を通りx軸に平行な直線と直線との交点は、①でとして、

よって、の座標は
の座標はなので、
　･･･⑦　(2項間漸化式を参照)
　･･･⑧
⑦で、とおくと、
　･･･⑨

　･･･⑩
⑦－⑨より、
は、公比：，初項：の等比数列です。⑤，⑩より、

よって、，⑩より、

　･･･⑪
⑧に代入して、


　･･･⑫
⑥よりの座標はですが、これは⑧よりなので、の座標はです。⑪，⑫より、
の座標は、，
の座標は、 .....[答]

(2) △の面積は、△ABCの面積と△の面積の和として、で与えられます。
△ABC
よりなので、⑫を用いて、
△
......[答]

(3) のx座標：(Bのy座標－のy座標) = OA：OB = a：b より、：(Bのy座標－のy座標) = ：b
⑫を用いて、

より、
ここでとすると、より，　(等比数列の極限を参照)
∴ ......[答]



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