東京工業大学2024年前期数学入試問題
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[1] xy平面上の曲線
に、点
(
)で接する円のうち、y軸の正の部分にも接するものを
とおく。aが正の実数を動くときの
の中心の軌跡をC，とくに
の中心をPとする。 (1) 点Pの座標を求めよ。
(2) 点Pにおける曲線Cの接線の傾きを求めよ。
[解答へ]
[2] 実数全体を定義域にもつ微分可能な関数
，
が次の6つの条件を満たしているとする。 このとき、
，
(1) 
を求めよ。 (2) 
は定数関数であることを示せ。 (3) 
を求めよ。 (4) 
となる正の実数Tに対して、媒介変数表示された平面曲線
(
)の長さを求めよ。 [解答へ]
[3] xy平面上に、点A
，B
，C
(ただし
)をとる。点A，Bを通る直線を
とし、点Cを通り線分BCに垂直な直線をkとする。さらに、点Aを通りy軸に平行な直線と直線kとの交点を
とし、点
を通りx軸に平行な直線と直線
との交点を
とする。以下、
に対して、点
を通りy軸に平行な直線と直線kとの交点を
，点
を通りx軸に平行な直線と直線
との交点を
とする。
(1) 点
，
の座標を求めよ。 (2) △
の面積
を求めよ。 (3) 
を求めよ。 [解答へ]
[4] nを正の整数とし、
，・・・，
をn枚の硬貨とする。各
に対し、硬貨
を投げて表が出る確率を
，裏が出る確率を
とする。このn枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。
(1) 
(
)のとき、このゲームで成功する確率
を求めよ。 (2) 
(
)のとき、このゲームで成功する確率
を求めよ。 (3) 
(m：正の整数)で、
に対して とする。このゲームで成功する確率を
とするとき、
を求めよ。 [解答へ]
[5] 整数の組
に対して2次式
を考える。方程式
の複素数の範囲のすべての解αに対して
となる正の整数nが存在するような組
をすべて求めよ。
[解答へ]
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