東工大数学'24年前期[2]
実数全体を定義域にもつ微分可能な関数
，
が次の6つの条件を満たしているとする。
このとき、
，
(1) 
を求めよ。 (2) 
は定数関数であることを示せ。 (3) 
を求めよ。 (4) 
となる正の実数Tに対して、媒介変数表示された平面曲線
(
)の長さを求めよ。
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解答 東工大としては目新しいテーマの問題ですが、平易な内容で、この問題は落とせません。
問題文より、
･･･①
･･･②
･･･③
･･･④
･･･⑤
･･･⑥
･･･⑦
･･･⑧
(1) ⑦を微分すると、①，②を用いて、
......[答]従って
は定数関数で、⑦で
とすると、⑤，⑥より、 つまり、
･･･⑨
(∵ ②，⑨)よって、
は定数関数です。
(
：定数)⑧で
とすると、⑥より、 
∴ 
，
(対数関数を参照)
∴ 
･･･⑩
......[答] ･･･⑪また、
･･･⑫
②より、
であり、
は単調増加関数です。⑪，⑫より、
であり、⑩で得られた
は、④を満たします。
(4) 媒介変数表示された平面曲線
は、⑨より
を満たし、原点を中心とする半径1の 円 です。 
のとき、⑤，⑥より、
です。この点をPとします。
のとき、
より、
です。このとき③より、
円
上の点で
を満たす点は
であり、この点をQとします。⑩で得られた
は、
の範囲において連続な関数で、求める曲線の長さは、円弧
の長さであり、半径1，
より、
......[答]
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