東工大数学'24年前期[4]
nを正の整数とし、
，・・・，
をn枚の硬貨とする。各
に対し、硬貨
を投げて表が出る確率を
，裏が出る確率を
とする。このn枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。
(1) 
(
)のとき、このゲームで成功する確率
を求めよ。 (2) 
(
)のとき、このゲームで成功する確率
を求めよ。 (3) 
(m：正の整数)で、
に対して とする。このゲームで成功する確率を
とするとき、
を求めよ。
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解答 本問も[3]に続いて、2項間漸化式を用いて解答できます。(3)はややこしく計算がごたつきます。
は公式ですが、
は公式とは言えないので、試験会場で導けるようにしておきましょう。
(1) 
枚の硬貨投げで成功するのは、n枚の硬貨投げで成功(確率
)して、
枚目で裏が出る(確率
)か、n枚の硬貨投げで成功せず(確率
)、
枚目に表が出る(確率
)場合です。よって、 ①－②より、
よって、
は、公比：
，初項：
の等比数列です。硬貨1枚のとき成功する確率は、1枚投げて表が出る確率で
，
です。よって、 ∴ 
......[答]
(2) 
枚の硬貨投げで成功するのは、n枚の硬貨投げで成功(確率
)して、
枚目で裏が出る(確率
)か、n枚の硬貨投げで成功せず(確率
)、
枚目に表が出る(確率
)場合です。よって、 
は公差：
，初項：
の等差数列です。硬貨1枚のとき成功する確率は、1枚投げて表が出る確率で
，
です。よって、∴ 
.....[答]
(3) 
枚の硬貨をm個ずつ分けて考えます。m枚の硬貨の各一を投げて、表が出る確率をpとします。
のm枚の硬貨については
，
のm枚の硬貨については
，
のm枚の硬貨については
です。 m枚の硬貨投げで成功する確率を
とします。
枚の硬貨投げで成功するのは、m枚の硬貨投げで成功(確率
)して、
枚目で裏が出る(確率
)か、m枚の硬貨投げで成功せず(確率
)、
枚目に表が出る(確率p)場合です。よって、 ③－④より、
は、公比：
，初項：
の等比数列です。硬貨1枚のとき成功する確率は、1枚投げて表が出る確率で
，
です。よって、⑤において
のとき、 
とすると⑥を用いて、
より、
･･･⑦同様に、⑤において
のとき、 
とすると⑥を用いて、
･･･⑧同様に、⑤において
のとき、 
とすると⑥を用いて、
･･･⑨
枚の硬貨を投げて成功するのは、
に対するm枚の硬貨投げで表が出た枚数、
に対するm枚の硬貨投げで表が出た枚数、
に対するm枚の硬貨投げで表が出た枚数、について、
奇数、奇数、奇数、となるか、奇数、偶数、偶数、となるか、偶数、奇数、偶数、となるか、偶数、偶数、奇数、となる場合です。その確率
は、⑦，⑧，⑨より、
......[答]
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･･･③
･･･④ ∴ 
･･･⑥
(このときの
を
とします)
(このときの
を
とします)
(このときの
を
とします)
より、