東大理系数学'21年前期[4]

以下の問いに答えよ。
(1) 正の奇数KLと正の整数ABを満たしているとする。K4で割った余りがL4で割った余りと等しいならば、A4で割った余りはB4で割った余りと等しいことを示せ。
(2) 正の整数abを満たしているとする。このとき、に対してとなるような正の奇数KLが存在することを示せ。
(3) ab(2)の通りとし、さらに2で割り切れるとする。4で割った余りは4で割った余りと等しいことを示せ。
(4) 4で割った余りを求めよ。

解答 腕尽くで解答する、体力がもの言う問題です。

(1) KL4で割った余りが等しいので、mを整数として、とおけます。両辺にAをかけると、
より、
右辺は4の倍数ですが、Lは奇数なので、4の倍数です。つまり、A4で割った余りはB4で割った余りと等しくなります。
(2) を結びつける簡単な関係式も思い浮かばず、方針も見えないので、abに簡単な数を代入することから始めます。としてみると、,で確かにとなりますが、何も見えてきません。とすると、,分子・分母でかけ算されている数に何かあるな、という気がしますが、まだ見えません。
abを少し大きくしてみます。とすると、,ここで題意から、の中にが隠れていないか探します。の赤字のところにに並ぶ数字が4をかけられて隠れています。それで、4の倍数を問題にしているのだな、ということに気づきます。
と書いてみると、分子と分母が両方とも奇数になっているところ(黒字)と、両方とも偶数になっているところ(赤またはピンク色)があることに気づきます。よく見ると、数字を連続して並べるので、当然のことですが、奇数が入るところ、偶数が入るところが互い違いに並びます。となる赤字以外のところで偶数が入っているところ(ピンク色)も、
となっていて、約分すれば、奇数分の奇数にできます。にしてみます。

 ()
分子・分母に奇数ばかり並び、これで、問題のカラクリがほぼ見えてきます。abに代入する数値をある程度大きくしないと見えてこないことに注意が必要です。を具体的に書くと、分子・分母の4の倍数になるところにが隠れていて、それ以外の偶数分の偶数は約分すると奇数分の奇数にできて、それ以外は全て奇数分の奇数です。

 ・・・@
 (,・・・,) ・・・A
を上記のように書いたとき、4個ごとに現れる4の倍数分の4の倍数のところは4で約分してかけ合わせるとになります。それ以外の偶数分の偶数のところは、分子、分母とも4で割ると2余る数で、2で約分すると、奇数分の奇数になります。残りは奇数分の奇数です。
これより、
 ・・・B
 ・・・C
とすれば、KLは正の奇数で、に対してとなります。
(3) @の右辺の奇数分の奇数のところ ()は、分子から分母を引くと、
4の倍数なので、分子を4で割った余りと分母を4で割った余りとは等しくなります。
@の右辺で、
4の倍数でない偶数が分子・分母に入るところ ()は、A式において、2で約分して (,つまり、)となりますが、分子から分母を引くと、
は、問題文より2で割り切れるので、4の倍数となり、分子を4で割った余りと分母を4で割った余りは等しくなります。よって、A式右辺の以外のところの全ての奇数分の奇数の分子と分母は4で割った余りが等しくなります。
A式の分母をかけあわせたBの
K,A式の分子をかけあわせたCのLについても、KL4で割った余りが等しくなります。
(2)より、正の奇数KLを用いて、に対してとなり、KL4で割った余りが等しくなるので、(1)より、4で割った余りと、4で割った余りとは等しくなります。
(4) なので、(3)より、4で割った余りと4で割った余りとはとは等しくなります。
なので、(3)より、4で割った余りと4で割った余りとは等しくなります。
78754で割ると3余るので、4で割った余りは3 ......[]



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