東京大学理系2021年前期数学入試問題

[1]
 abを実数とする。座標平面上の放物線
C
は放物線2つの共有点を持ち、一方の共有点のx座標はを満たし、他方の共有点x座標はを満たす。
(1) のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(2) 放物線Cの通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。
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[2] 複素数abcに対して整式を考える。iを虚数単位とする。
(1) αβγを複素数とする。が成り立つとき、abcをそれぞれαβγで表せ。
(2) がいずれも1以上2以下の実数であるとき、のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
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[3] 関数
に対して、のグラフをCとする。点AにおけるCの接線を
とする。
(1) Cの共有点でAと異なるものがただ1つ存在することを示し、その点のx座標を求めよ。
(2) (1)で求めた共有点のx座標をαとする。定積分
を計算せよ。
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[4] 以下の問いに答えよ。
(1) 正の奇数KLと正の整数ABを満たしているとする。K4で割った余りがL4で割った余りと等しいならば、A4で割った余りはB4で割った余りと等しいことを示せ。
(2) 正の整数abを満たしているとする。このとき、に対してとなるような正の奇数KLが存在することを示せ。
(3) ab(2)の通りとし、さらに2で割り切れるとする。4で割った余りは4で割った余りと等しいことを示せ。
(4) 4で割った余りを求めよ。
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[5] aを正の実数とする。におけるθの関数を、座標平面上の2AP間の距離AP2乗として定める。
(1) の範囲にとなるθがただ1つ存在することを示せ。
(2) 以下が成り立つようなαの範囲を求めよ。
におけるθの関数は、区間のある点において最大になる。
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[6] 定数bcpqrに対し、
xについての恒等式であるとする。
(1) であるとき、qrpbで表せ。
(2) とする。bcが定数aを用いて
と表されているとき、有理数を係数とするt についての整式
を満たすものを1組求めよ。
(3) aを整数とする。x4次式
が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるようなaをすべて求めよ。
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