東大理系数学'21年前期[5]
aを正の実数とする。
におけるθの関数
を、座標平面上の2点A
，P
間の距離APの2乗として定める。
(1) 
の範囲に
となるθがただ1つ存在することを示せ。 (2) 以下が成り立つようなαの範囲を求めよ。
におけるθの関数
は、区間
のある点において最大になる。
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解答 多少複雑ですが、微分して行くに従ってだんだん簡単になるタイプです。なお、微分法の方程式への応用(2)を参照してください。
(1) 
とすると、
より、
，
より、
の増減表は以下のようになります。増減表より、
ですが、
は、
の範囲にただ1つの解βを持ちます。
，
より、
の増減表は以下のようになります。増減表より、
，
なので、
の範囲に
となるθがただ1つ存在します。(2) (1)の
の増減表において、
ですが、
は
において単調減少で、
が
内のある点において最大になるためには、
内のどこかで、
が極大、つまり
，よって
となることが必要です。このとき、
となりますが、
は、
の範囲にただ1つの解γを持ちます。 
，
より、
の
における増減表は以下のようになります。増減表より、
は
のある点において最大になります。よって、求めるαの範囲は、
......[答]
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