東大理系数学'21年前期[2]

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複素数a，b，cに対して整式を考える。iを虚数単位とする。

(1) α，β，γを複素数とする。，，が成り立つとき、a，b，cをそれぞれα，β，γで表せ。

(2) ，，がいずれも1以上2以下の実数であるとき、のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

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解答　(2)は第1問と同じようなことになってしまいますが、こちらは動くものが3つです。

(1) 　･･･�@，　･･･�A，　･･･�B

�A＋�Bより、，�@を代入し、，より、
∴
これと�@を�Aへ代入し、
∴ ，， ......[答]

(2) ，(1)の結果より、

(x，yは実数)とおくと、

　･･･�C，　･･･�D

3文字動くのでは大変なので、2式より1文字ずつ消去して考えます。
�C＋�Dより、　∴ ，より、

，

より、，，よって、

，つまり、　･･･�E

�C−�D×3より、　∴ ，より、

，

より、，，よって、

，つまり、　･･･�F

�C×2−�Dより、　∴ ，より、

，

より、，，よって、

，つまり、　･･･�G

かつかつより、求める範囲は、�Eかつ�Fかつ�Gです。図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含む)。
注，�C，�Dを、と見ると、，，として、αを1から2まで動かすと、となるを1頂点として，で作られる平行四辺形が、頂点がまで動くように平行移動し、その通過部分が求める範囲になります。

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