東大理系数学
'21
年前期
[2]
複素数
a
,
b
,
c
に対して整式
を考える。
i
を虚数単位とする。
(1)
α
,
β
,
γ
を複素数とする。
,
,
が成り立つとき、
a
,
b
,
c
をそれぞれ
α
,
β
,
γ
で表せ。
(2)
,
,
がいずれも
1
以上
2
以下の実数であるとき、
のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
解答
(2)
は第
1
問と同じようなことになってしまいますが、こちらは動くものが
3
つです。
(1)
・・・@,
・・・A,
・・・B
A+Bより、
,@を代入し、
,
より、
∴
これと@をAへ代入し、
∴
,
,
......[
答
]
(2)
,
(1)
の結果より、
(
x
,
y
は実数
)
とおくと、
・・・C,
・・・D
3
文字動くのでは大変なので、
2
式より
1
文字ずつ消去して考えます。
C+Dより、
∴
,
より、
,
より、
,
,よって、
,つまり、
・・・E
C−D×
3
より、
∴
,
より、
,
より、
,
,よって、
,つまり、
・・・F
C×
2
−Dより、
∴
,
より、
,
より、
,
,よって、
,つまり、
・・・G
かつ
かつ
より、求める範囲は、EかつFかつGです。図示すると右図黄緑色着色部
(
境界線を含む
)
。
注,C,Dを、
と見ると、
,
,
として、
α
を
1
から
2
まで動かすと、
となる
を
1
頂点として
,
で作られる平行四辺形が、頂点
が
まで動くように平行移動し、その通過部分が求める範囲になります。
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