東大理系数学'21年前期[2]

複素数abcに対して整式を考える。iを虚数単位とする。
(1) αβγを複素数とする。が成り立つとき、abcをそれぞれαβγで表せ。
(2) がいずれも1以上2以下の実数であるとき、のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答 (2)は第1問と同じようなことになってしまいますが、こちらは動くものが3つです。

(1)  ・・・@, ・・・A, ・・・B
A+Bより、,@を代入し、より、

これと@をAへ代入し、
......[]
(2) (1)の結果より、
(xyは実数)とおくと、
 ・・・C, ・・・D
3文字動くのでは大変なので、2式より1文字ずつ消去して考えます。
C+Dより、 ∴
より、

より、,よって、
,つまり、 ・・・E
C−D×3より、 ∴ より、

より、,よって、
,つまり、 ・・・F
2−Dより、 ∴ より、

より、,よって、
,つまり、 ・・・G
かつかつより、求める範囲は、EかつFかつGです。図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含む)
注,C,Dを、と見ると、として、
α1から2まで動かすと、となる1頂点としてで作られる平行四辺形が、頂点まで動くように平行移動し、その通過部分が求める範囲になります。



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