早大教育数学'10年[2]
底面が正六角形ABCDEFで頂点がOの正六角錐O-ABCDEFがある。底面の辺の長さをa，
とする。2つの面△OABと△OBCのなす角をθ とするとき、
を求めよ。
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解答 図形問題ですが、空間ベクトルでも、三角比を用いても解答できます。
，
，
は1次独立です。
より、
∴ 
･･･①
△OAB≡△OBCより、同様に、
･･･②
より、
これより、
∴ 
･･･③
辺OB上にHをとって、
となるようにします。このとき、
です。
とおくと、①を用いて、
∴ 
，
△OABと△OBCのなす角θ は、境界線BCに垂直な線分AHと線分CHのなす角に等しく、
①を用いて、
･･･⑤
･･･⑥
①，②，③を用いて、
･･･⑦
......[答]
AからOBに垂線Hを下ろすと、
同様に、
△ABCに余弦定理を適用して、
注．正弦定理：
より、
とすることもできます。
△AHCに余弦定理を適用して、
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･･･④
