早大理工数学'24年[5]
xy平面上において、以下の媒介変数表示をもつ曲線をCとする。
ただし、
とする。
(1) yの最大値、最小値を求めよ。
(2) 
となるt の範囲を求め、Cの概形をxy平面上に描け。 (3) Cをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
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解答 曲線Cはカージオイドです。(3)の立体の体積は、回転したときにくり抜ける部分があることに注意しましょう。
xとyをt で微分すると(媒介変数表示された関数の微分法を参照)、
とすると、
，
とすると、
，
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
，
増減表は以下のようになります。
| t | 0 | |  | |  | | π |
 | | ＋ | 0 | － | － | － | |
| x | 0 |  |  |  |  | | 0 |
 | | ＋ | ＋ | ＋ | 0 | － | |
| y |  | |  | |  | | 0 |
>
(1) 上記の増減表により、yの最大値は
(
のとき)，最小値は
(
のとき) ......[答] 
(2) 上記の増減表より、
となるt の範囲は、
......[答] Cの概形は右図。
(3) Cをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積は、
の部分(上記増減表で
の範囲。この範囲のxを以下の積分では
とします)を回転させたものから、
の内側(上記の増減表で
の範囲。この範囲のxを以下の積分では
とします)を回転させたものを除いた体積になります。 ここで、
とおいて置換積分すると、
，
に対しては、y：
のときt：
，
に対しては、y：
のときt：
ここで、被積分関数は、
･･･①
......[答]
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を①に代入して、
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，
とする