大阪大学2023年前期物理入試問題

大阪大学2023年前期物理入試問題

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[1]　小球の運動や衝突について考える。地点Oにxy平面の原点を、水平方向にx軸を、鉛直上向きにy軸をとり、小球の運動はxy平面に限られるものとする。なお、小球の大きさは無視できるほど小さく、小球の回転は考えないものとし、空気抵抗も無視する。重力加速度の大きさは

であり、その向きは鉛直下向きである。

Ｉ．質量mの小球Aを投げた時の様子を観察する。図1のように、地点Oから仰角θ[rad]の方向に速さ

で小球を投げた。ただし、

，

とする。

問1　小球Aが達する最高点の高さを、m，

，θ，

のうち必要なものを用いて表せ。

問2　小球Aを投げた後、しばらくして小球Aは地面(

)に落下した。落下地点と地点Oの間の水平距離を、m，

，θ，

のうち必要なものを用いて表せ。

問3　初速度の大きさ

を一定にしたままで、仰角θを変えて小球Aを投げる。地点Oから最も遠くに落下する場合の仰角θ[rad]を求めよ。

問4　落下した小球Aは地面に衝突してはね返り、地面との衝突を繰り返した。地面はなめらかな面で、小球Aと地面の衝突は非弾性衝突であり、反発係数をeとする。小球Aが地面にn回目に衝突した地点と地点Oの間の水平距離を、m，

，θ，

，e，nのうち必要なものを用いて表せ。

Ⅱ．図2のように、地点Oにxy平面の原点を、水平方向にx軸を、鉛直上向きにy軸をとる。質量Mの小球Bは、地点Oで静止していた質量mの小球Aに衝突する。衝突直前の小球Bの速度は

であったが、衝突直後に小球Aの速度は

となり、小球Bの速度は

となったとする。ただし、

，

とする。また、図2のように、θ[rad]は

とx軸のなす角度であり、ϕ[rad]は

とx軸のなす角度である。

，

とする。なお、小球Aと小球Bの衝突は弾性衝突である。ただし、小球と地面との衝突は考えないものとする。

問5　衝突によってはね上げられた直後の小球Aの速さvをm，M，

，θのうち必要なものを用いて表せ。

問6　小球Aがはね上げられた後、しばらくして小球Aは

まで落下した。落下地点と地点Oの間の水平距離Lをm，M，

，θ，

のうち必要なものを用いて表せ。

問7　距離Lが最も大きくなる場合を考えたい。m，M，

，

，d，

のうち必要なものを用いて、以下の空欄に入るべき数式を解答欄に記せ。

とおくと、Lの値が最大になる時にZの値も最大となる。

(

)とおけば、十分に小さいdの変化である

に対して、Zの変化

は、

(

)の項を無視すると、

と書ける。Zの値が最大となる場合、dの変化

に対して

となるので、Lの値が最大になる

の値は

となる。

Ⅲ．Ⅱでは、小球Aと小球Bを合わせた2物体の重心Gの位置は、時間とともに移動する。Ⅱの小球Aと小球Bの衝突を、重心Gとともに移動する観測者Pから観察する。なお、小球Aと小球Bの質量はそれぞれmとMである。

問8　観測者Pから見た小球Aと小球Bの運動を求めたい。m，M，

，

のうち必要なものを用いて、以下の空欄に入るべき数式を解答欄に記せ。

Ⅱの座標系では、小球Aと小球Bの座標をそれぞれ

と

とすれば、2物体の重心Gの座標は

と表される。衝突直前に小球Aは地点Oに静止しており、小球Bは水平方向(x軸の正の向き)に速さ

を持っていたので、微小時間

の間における重心Gの座標の変化量は

と表される。ゆえに、重心Gの速度は

となる。よって、衝突直前において、重心Gとともに移動する観測者Pから見た小球Aの速度は

であり、小球Bの速度は

となる。

問9　衝突直後に、観測者Pから見た小球Aの速度は

となり、小球Bの速度は

となった。

[rad]は

とx軸のなす角度であり、

[rad]は

とx軸のなす角度である。ただし、

，

とする。衝突直後における小球Aの速さ

，小球Bの速さ

，

をm，M，

のうち必要なものを用いて表せ。

問10　小球Bの質量Mが小球Aの質量mより大きい場合、Ⅱの座標系で見た小球Bの角度ϕには上限がある。m，M，

のうち必要なものを用いて、

の上限値を表せ。

[解答へ]

[2]　図1のように、真空中に半径がそれぞれ

および

の一巻きの円形コイルAおよびBが同一面内に中心をそろえて置かれており、コイルAには平行板コンデンサーと起電力Vの直流電源が、コイルBには抵抗値rの抵抗が、それぞれ接続されている。コンデンサーは、辺の長さがa，bの長方形の極板Aおよび極板Bで構成され、極板間の距離はdであり、極板間は真空である。ここで、dはa，bに比べて十分小さく、極板端部の電界の効果は無視できるとする。また、コイルAおよびBの電気抵抗も無視できるとする。ここでは、コンデンサー、直流電源、抵抗のサイズはコイルの半径に比べて十分小さく、コイルは円形コイルとみなして磁界を計算してよい。以下では、真空の誘電率および透磁率をそれぞれ

および

とする。

Ⅰ．いま、図1中のコンデンサーの極板内に、図2のように、辺の長さがa，b，dの直方体の誘電体を挿入する。誘電体の挿入長を図2に示すようにsとする。誘電体を

の地点から、初速度が0，加速度の大きさがp (

)で等加速度運動させるとコイルBに電流が流れた。誘電体の挿入長が

のときの時刻を

とする。以下の問に答えよ。ここで、コイルAの自己誘導による逆起電力は小さく無視できるとし、また、コイルBに流れる電流が作る磁界も弱く無視できるとする。なお、誘電体の比誘電率は

であり、誘電体端部の電界の効果は無視できるとする。

問1　誘電体の挿入長がs (

)のときにコンデンサーに蓄えられている電気量をa，b，d，s，

，

，Vのうち必要なものを用いて表せ。

問2　いま、時刻t から微小時間

の間に、誘電体の挿入長がsから

に変化したと近似して、この間にコイルAに流れる電流の大きさ

を

，a，b，d，

，

，Vのうち必要なものを用いて表せ。ここで、

(

)は挿入長がsのときの誘電体の速度である。また、その電流の向きを図1中の記号(i)または(ii)により示せ。

問3　時刻t において電流

がコイルの中心につくる磁界の強さを

，

のうち必要なものを用いて表せ。またその向きは、図1において(ア)紙面表から裏の向き、あるいは(イ)紙面裏から表の向き、のうちどちらであるか。(ア)または(イ)の記号で示せ。

問4　時刻t から微小時間

の間に誘電体の速度が

から

になったとして、この間にコイルBに流れる電流

の大きさをr，

，

，a，b，d，p，

，

，Vのうち必要なものを用いて表せ。また、その電流の向きを図1中の記号(iii)または(iv)により示せ。ただし、コイルBの半径

はコイルAの半径

に比べて十分小さく、コイルBの内部の磁界は一様で中心の値に等しいとせよ。

問5　誘電体を挿入し始めた直後にコイルBに流れる電流の大きさを

として、誘電体の挿入長が0からaまで変化する間に抵抗rで消費されるエネルギーをr，

，a，pのうち必要なものを用いて表せ。

Ⅱ．次に、コンデンサーに挿入した誘電体を取り除いたうえで、図1のコンデンサーに対して図3のように、極板Aの辺

と極板Bの辺

の位置を固定したまま辺

と辺

を上下に等しく広げる変形を与えたところ、コイルBに電流が流れた。辺

と辺

の距離が

である瞬間について、次の問いに答えよ。ここで、

はdに比べて十分小さいとする。以下では、図3のように頂点

と頂点

の中点を原点とし、x軸を頂点

と頂点

の中点の方向にとる。また、

は小さいため、極板間距離を広げた後も極板のx方向の長さはaで近似できるものとする。

問6　このときの、このコンデンサーの電気容量を、図4のように極板をn個の微小区間に等分割してできた、電気容量が

の微小平行板コンデンサーを合成した電気容量であると考えよう。ただしkは1からnまでの整数である。次の文章の空欄に入れるべき数式を解答欄に記せ。

極板AB間の距離は図5に示すxの1次関数で表される。原点側から数えてk番目の微小平行板コンデンサーの極板間の距離が

における極板AB間の距離であるとすれば、この極板間の距離はd，

，n，kを用いて

と表される。したがって、微小平行板コンデンサーの合成容量はa，b，d，

，n，k，

を用いて

と表される。いま、分割数nが十分大きいときの微小平行板コンデンサーの合成容量は、次の近似を適用すればa，b，d，

，

を用いて

と表される。
nが十分大きく、かつδが1に比べて十分小さい場合：

問7　図1のように直流電源とコンデンサーはつながっている。位置xにおける極板A上の単位面積あたりの電気量をx，a，d，

，

，Vのうち必要なものを用いて表せ。

問8　横軸をx，縦軸を極板A上の単位面積あたりの電気量σとして、変形前と変形後のσの分布をグラフに描くとどのようになるか。図6中の(あ)から(こ)の中から最も適切なものを選べ。ただし、図中の

は極板を広げる前の極板A上の単位面積あたりの電気量である。

問9　辺

と辺

を上下に等しく広げる際、それぞれの辺の初速度を0，加速度の大きさを

で一定とする。極板を広げ始めた直後にコイルBに流れる電流の大きさをr，

，

，a，b，d，q，

，

，Vのうち必要なものを用いて表せ。

[解答へ]

[3]　
以下のAとBの両方の問題に解答せよ。なおAとBは独立した内容の問題である。

A．図1のように熱を通さない物質でできた2つの風船をつなぎ合わせた気球がある。一方の風船には単原子分子理想気体である気体A，もう一方の風船には二原子分子理想気体である気体Bが入っている。風船はそれぞれ密閉されていて気体A，Bは混合しない。風船の材質は力を伴わずに伸び縮みできるので、風船内の気体の圧力は大気圧と常に一致しているとする。2つの風船の接続部には遠隔制御できるヒーター、冷却器、断熱板がある。断熱板を開いているときは、気体A，Bは互いに熱を交換できる。断熱板を開いた状態でヒーターや冷却器を用いると、両気体の温度を一致させたまま温度をゆっくりと変化させることができる。気体を構成する物質のうち、気体A，B以外の部分の質量、体積、熱容量は考慮しなくてよい。温度はすべて絶対温度とする。
気体A，Bの物質量、モル質量、定積モル比熱、定圧モル比熱を表1に示す。Rは気体定数、モル質量は1モルあたりの質量である。大気はモル質量がMの理想気体であるとする。地面からの高度が高くなるほど大気の圧力や密度は小さくなるが、気体A，Bの状態を計算する場合には気球の中心高度に対応する大気圧を気体の圧力として用い、各風船内で圧力や密度が一様であるとしてよい。風の影響はないものとする。地上の大気の圧力は