東工大物理'20年前期[1]

図のように、2つの斜面AB(床に対する傾斜角θ)EF(長さL,床に対する傾斜角θ)と水平な面CD(長さ)を、2つの円弧面BC(中心点G,半径R)DE(中心点,半径R)でなめらかにつなげた台P (質量M)が水平な床の上に置かれている。この台P上に置かれた大きさの無視できる物体Q (質量m)が、面に沿って摩擦なしに運動する。ただし、斜面ABの長さはLより長く、物体Qは台Pの端点Fに達したときには、台Pから離れることができるとする。また、台P,物体Qはいずれも図の奥行き方向には移動しないものとする。水平方向にx軸を、鉛直方向にy軸をとり、それぞれ図の右向き、上向きを正とする。空気抵抗は無視できるとし、重力加速度の大きさをとして、以下の問に答えよ。

[A] 台Pが床に固定されている場合を考える。

(a) 斜面AB上で面CDに対して高さhの場所に物体Qを置いて初速度なしに放した。物体Qが初めて点Dに達したときの物体Qの床に対する速度のx成分を求めよ。

(b) (a)において、hがある値より大きいとき、物体Qは端点Fに達して台Pから離れるが、hより小さいとき、物体Qは台Pから離れない。このようなmMRθのうち必要なものを用いて表せ。

(c) (a)において、hより大きいとき、物体Qは端点Fに達した後、台Pから離れる。物体Qが端点Fを離れてから最高点に達するまでの時間を、mMhθのうち必要なものを用いて表せ。

(d) 円弧面BC上の点に物体Qを置いて初速度なしに放したところ、物体Qは面CD上を移動し、円弧面DE上の点に達した後、そこから滑り降りて再び点に戻る周期運動を行った。この運動の周期について述べた次の文章において、空欄()()に当てはまる数式を答えよ。ただし、線分が線分CGとなす角は十分に小さく、物体Qの円弧面上の運動は単振動と見なせるものとし、必要ならの近似式を用いてよい。

物体Qが点から初めて点Cに達するまでの時間はである。また、点Cに達したときの物体Qの速さはに比例した式で表すことができる。このことから、物体Qが点Cから初めて点Dに達するまでの時間はと表せる。したがって、この運動の周期はである。

[B] 台Pが床から離れることなく摩擦なしにx方向に移動できる場合を考える。

(e) Pが床に対して静止しているとき、斜面AB上で面CDに対して高さhの場所に物体Qを置いて初速度なしに放した。物体Qが初めて点Dに達したときの物体Qおよび台Pの床に対する速度のx成分をそれぞれ求めよ。

(f) (e)において、hがある値より大きいとき、物体Qは端点Fに達して台Pから離れるが、hより小さいとき、物体Qは台Pから離れない。このようなmMRθのうち必要なものを用いて表せ。

(g) (e)において、hより大きいとき、物体Qは端点Fに達した後、台Pから離れる。この瞬間の台Pの床に対する速度のx成分について述べた次の文章において、空欄()()に当てはまる数式を答えよ、

物体Qが台Pから離れる瞬間における物体Qの床に対する速度のx成分およびy成分をそれぞれとすると、物体Qが斜面EF上を運動していたことから、の間には斜面EFの傾斜角θで決まる関係式が成り立つ。この式と、力学的エネルギー保存則および運動量保存則を連立して解くと、と表される。

[C] 物体Qの置かれた台Pが常にx方向に加速度a ()の等加速度運動を行うように、台Pに適切な外力Tを加える場合を考える。台Pは、床から離れることなく摩擦なしにx軸の正の向きに運動するものとする。

(h) 円弧面BC上にある物体Qが、点BCを超えることなく台Pから見て単振動と見なせる十分に振幅の小さな周期運動を行った。この運動の周期を求めよ。

(i) 次に、斜面AB上に物体Qが置かれた状況を考える。台Pを床に対して距離sだけ移動させている間、物体Qは斜面AB上で運動していた。この間に外力Tが行った仕事の大きさをmMsθaを用いて表せ。

解答 ほぼ頻出タイプの標準問題ですが、ところどころ丁寧に考察すべき点があります。

[A](a) 位置エネルギーの基準を面CDにとると、放された点で物体Qの位置エネルギーは,点Dに達したときの運動エネルギーは、求める速度のx成分をvとして、,力学的エネルギー保存より、
 ∴ ......[]

(b) ,つまり、物体Qが端点Fでちょうど停止する分かれ目の状況を考えます。点BEの面CDからの高さは、
Fの面CDからの高さは、,物体Qの点Fにおける位置エネルギーは,運動エネルギーは0,放された点での位置エネルギーは,運動エネルギーは0,力学的エネルギー保存より、
 ∴ ......[]
この結果は、点Fと同じ高さのところで物体Qを放すと、ちょうど端点Fで物体Qが停止することを意味しています。

(c) のとき、端点Fにおける物体Qの速さをとすると、この点での運動エネルギーは,力学的エネルギー保存より、
 ∴
物体Qの台Pから離れた直後の速度のy成分は,求める時間をt として、y方向について、等加速度運動の公式より、
 ∴ ......[]

(d)() 物体Qが円弧面DE上の点まで行って引き返すとします。CD面からの高さは、力学的エネルギー保存より、CD面からの高さと同じです。周期運動のうち、をつないだ運動は、が微小であることから、ひもの長さRの単振り子の単振動と考えると、その周期はです。物体Qから初めてCに達するまでの時間は周期ので、 ......[]

() Cに達したときの物体Qの速さをとすると、物体Qの点における位置エネルギーは,点Cにおける運動エネルギーは,力学的エネルギー保存より、
と近似すると、
 ∴ ......[]

() CD間は等速度運動するので、点Cから初めてDに達するまでの時間は、
......[]

() 運動全体の周期は、単振り子の周期にCDを往復する時間を加えて、
......[]

[B](e) 放された点で物体Qの位置エネルギーは,運動エネルギーは、物体Q,台Pとも0,運動量も0,物体Qが点Dに達した時点で、物体Qの位置エネルギーは0,運動エネルギーは、物体Q,台P,両地点での台Pの位置エネルギーに変化はなく、力学的エネルギー保存より、
 ・・・@
運動量保存より、
 ∴  ・・・A,@に代入して、

 ∴
......[]
Aより、 ......[]

(f) (b)同様、,つまり、物体Qが端点Fでちょうど停止する分かれ目の状況を考えます。物体Qが放されたとき、位置エネルギーは,速度は物体Q,台Pとも0です。物体Qが端点Fに達したとき、物体Qが台Pに対して静止する、ということは、物体Qと台Pの速度が一致して同じ値になるということです。この速度をとします。両地点でのx方向の運動量保存より、
 ∴
両地点で台Pの位置エネルギーに変化はなく、端点Fでの物体Qの力学的エネルギーは位置エネルギーののみで、力学的エネルギー保存より、
 ∴ ......[]
この結果は(b)と同じですが、台Pが動く場合でも、端点Fと同じ高さの所から物体Qを放すとちょうど端点Fで停止する、ということを意味しています。

(g)() P上で見て、物体Qが斜面に沿って運動してきて端点Fから飛び出す瞬間に、台P上で見た物体Qの相対速度のx成分は、 (に注意)y成分は,これらの関係は右図のようになり、
......[] ・・・B

() のとき、物体Qが放されたときの位置エネルギーは,運動エネルギーは物体Q,台Pとも0,運動量も物体Q,台Pとも0,物体Qが端点Fから飛び出す瞬間に、物体Qの位置エネルギーは,運動エネルギーは物体Q,台P,両地点で台Pの位置エネルギーに変化はなく、力学的エネルギー保存より、
 ・・・C
x方向の運動量保存より、
 ∴  ・・・D,これをBに代入し、
これとDをCに代入し、

なので、 ......[]

[C](h) ひもの長さRの単振り子の周期:において、重力加速度を見かけの重力加速度として、
......[]

(i) もちろん、仕事はなのですが、Tを使わずに答えるので、Tを求める必要があります。台Px方向に受ける力は、外力T,物体Qから斜面から受ける垂直抗力Nx方向成分です。台Px方向の運動方程式:
 ・・・E
P上で見て、物体Qが斜面と垂直な方向に受ける力は、斜面から受ける垂直抗力N,鉛直下向きの重力の斜面と垂直な方向の成分x軸負方向の慣性力の斜面と垂直な方向の成分です。これらの力のつり合い:
これより、,これをEに代入して、
よって、求める仕事は、 ......[]


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