東京工業大学2020年前期物理入試問題

[1]
 図のように、2つの斜面AB(床に対する傾斜角θ)EF(長さL,床に対する傾斜角θ)と水平な面CD(長さ)を、2つの円弧面BC(中心点G,半径R)DE(中心点,半径R)でなめらかにつなげた台P (質量M)が水平な床の上に置かれている。この台P上に置かれた大きさの無視できる物体Q (質量m)が、面に沿って摩擦なしに運動する。ただし、斜面ABの長さはLより長く、物体Qは台Pの端点Fに達したときには、台Pから離れることができるとする。また、台P,物体Qはいずれも図の奥行き方向には移動しないものとする。水平方向にx軸を、鉛直方向にy軸をとり、それぞれ図の右向き、上向きを正とする。空気抵抗は無視できるとし、重力加速度の大きさをとして、以下の問に答えよ。

[A] 台Pが床に固定されている場合を考える。

(a) 斜面AB上で面CDに対して高さhの場所に物体Qを置いて初速度なしに放した。物体Qが初めて点Dに達したときの物体Qの床に対する速度のx成分を求めよ。

(b) (a)において、hがある値より大きいとき、物体Qは端点Fに達して台Pから離れるが、hより小さいとき、物体Qは台Pから離れない。このようなmMRθのうち必要なものを用いて表せ。

(c) (a)において、hより大きいとき、物体Qは端点Fに達した後、台Pから離れる。物体Qが端点Fを離れてから最高点に達するまでの時間を、mMhθのうち必要なものを用いて表せ。

(d) 円弧面BC上の点に物体Qを置いて初速度なしに放したところ、物体Qは面CD上を移動し、円弧面DE上の点に達した後、そこから滑り降りて再び点に戻る周期運動を行った。この運動の周期について述べた次の文章において、空欄()()に当てはまる数式を答えよ。ただし、線分が線分CGとなす角は十分に小さく、物体Qの円弧面上の運動は単振動と見なせるものとし、必要ならの近似式を用いてよい。

物体Qが点から初めて点Cに達するまでの時間はである。また、点Cに達したときの物体Qの速さはに比例した式で表すことができる。このことから、物体Qが点Cから初めて点Dに達するまでの時間はと表せる。したがって、この運動の周期はである。

[B] 台Pが床から離れることなく摩擦なしにx方向に移動できる場合を考える。

(e) Pが床に対して静止しているとき、斜面AB上で面CDに対して高さhの場所に物体Qを置いて初速度なしに放した。物体Qが初めて点Dに達したときの物体Qおよび台Pの床に対する速度のx成分をそれぞれ求めよ。

(f) (e)において、hがある値より大きいとき、物体Qは端点Fに達して台Pから離れるが、hより小さいとき、物体Qは台Pから離れない。このようなmMRθのうち必要なものを用いて表せ。

(g) (e)において、hより大きいとき、物体Qは端点Fに達した後、台Pから離れる。この瞬間の台Pの床に対する速度のx成分について述べた次の文章において、空欄()()に当てはまる数式を答えよ、

物体Qが台Pから離れる瞬間における物体Qの床に対する速度のx成分およびy成分をそれぞれとすると、物体Qが斜面EF上を運動していたことから、の間には斜面EFの傾斜角θで決まる関係式が成り立つ。この式と、力学的エネルギー保存則および運動量保存則を連立して解くと、と表される。

[C] 物体Qの置かれた台Pが常にx方向に加速度a ()の等加速度運動を行うように、台Pに適切な外力Tを加える場合を考える。台Pは、床から離れることなく摩擦なしにx軸の正の向きに運動するものとする。

(h) 円弧面BC上にある物体Qが、点BCを超えることなく台Pから見て単振動と見なせる十分に振幅の小さな周期運動を行った。この運動の周期を求めよ。

(i) 次に、斜面AB上に物体Qが置かれた状況を考える。台Pを床に対して距離sだけ移動させている間、物体Qは斜面AB上で運動していた。この間に外力Tが行った仕事の大きさをmMsθaを用いて表せ。
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[2] 電磁場中における質量m,電荷qの荷電粒子の運動を考察する。断りのない限り、qは正負いずれの値も取りうるものとする。磁束密度は、時間的に変化することはないとする。また、磁束密度の向きは、図1のように紙面の裏から表の向きであり、この向きをz軸の正の向きとし、荷電粒子はxy平面内を運動するものとする。なお、荷電粒子は真空中を運動するものとし、また、重力の影響は無視できるものとする。

[A] 磁束密度の大きさの一様な磁場中で、荷電粒子が速さxy平面上の等速円運動を行っているとする。なお、設問[A]では、電場はかかっていないものとする。以下の問に答えよ。

(a) 円運動の半径を、mのうち必要なものを用いて表せ。

(b) 荷電粒子の速度のxy成分をそれぞれとし、荷電粒子が受ける力のxy成分をそれぞれとする。およびを、qのうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

[B] 次に、磁束密度の向きはz軸の正の向きのまま、では磁束密度の大きさがでは磁束密度の大きさがであるとする。なお、設問[B]でも、電場はかかっていないものとする。
時刻において、荷電粒子が原点Oy軸の正の向きに速さで通過した。nを正の整数として、荷電粒子がn回目にx軸を横切る時刻(すなわちy座標がゼロとなる時刻),そのときのx座標をと書くことにする。以下の問に答えよ。

(c) mqのうち必要なものを用いて、およびを表せ。

(d) 荷電粒子のy座標のとりうる最大値および最小値を、mqのうち必要なものを用いて表せ。さらに、解答欄のグラフに、の場合のの間の荷電粒子の軌跡(半円)が記されている。これにひきつづき、の間の荷電粒子の軌跡の概形を解答欄のグラフに描き加えよ。

[C] 次に、z軸の正の向きの磁場に加えて、電場もある場合を考える。設問[C]では、磁束密度は一様で大きさとする。他方、電場はy軸の正の向きを向いており、一様で大きさとする。時刻において、荷電粒子は原点Oに静止しているとする。ここで、時刻tにおける荷電粒子の速度のxy成分を、それぞれと表すこととする。以下の問に答えよ。

(e) 時刻tにおいて、荷電粒子が受ける力のxy成分をそれぞれとする。およびを、qのうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

(f) ある速さx軸の正の向きに等速度運動する観測者から見た場合には、荷電粒子の運動が等速円運動に見える。 mqおよびのうち必要なものを用いてを表せ。

(g) の場合との場合のそれぞれにつき、時刻からしばらくの間の、静止した観測者から見た荷電粒子の軌跡の概形として、もっともふさわしいものを、図2の選択肢@〜Iからそれぞれ1つずつ選べ。

(h) の場合を考える。荷電粒子のy座標のとりうる最大値は、(f)で求めたを用いて下記のようになる。空欄に当てはまる数式をmqのうち必要なものを用いて表せ。


また、静止した観測者から見た場合に、において最初にとなるときのx座標の絶対値は、下記のようにの定数倍となっている。空欄を埋めよ。

(i) 引き続きの場合を考える。静止した観測者から見た場合に、時刻からしばらくの間の荷電粒子の運動エネルギーの変化の様子としてもっともふさわしいものを、図3の選択肢@〜Cから選べ。ただし、図3の横軸にあるは、荷電粒子のy座標がで最初にゼロとなる時刻を表す。

さらに、図3に示した縦軸の運動エネルギーの値をmqのうち必要なものを用いて表せ。なお、選択肢Cでは、運動エネルギーは充分長い時間の経過ののち、に達するものとする。
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[3] 液体状態の水(以下では単に水と呼ぶ)をシリンダーに密封して圧力一定のもとで加熱していくと、水の温度が上昇し、ある温度に達すると水から水蒸気への変化(蒸発)が生じる。この温度を気液共存温度(沸点)と呼び、この温度においては水と水蒸気が共存できる。気液共存温度において一定量の水をすべて水蒸気に変化させるのに必要な熱量を蒸発熱と呼ぶ。この気液共存温度と圧力の関係が図1中に気液共存線として示されている。図1の縦軸は圧力、横軸は温度であり、気液共存線の左側の領域では水、右側の領域では水蒸気となり、気液共存温度は圧力の増加とともに上昇する。
以下、本問では、水の
1molあたりの体積(すなわちモル体積)とし、は温度と圧力によらず一定とみなせるものとする。を一定としたので定積モル比熱と定圧モル比熱は等しいため両者を区別せず、水のモル比熱をとする。水の1molあたりの蒸発熱をLとし、以下で考える温度範囲では、Lおよびは温度と圧力によらず一定とみなせるものとする。圧力における気液共存温度をそれぞれ(絶対温度)、気液共存状態での水蒸気のモル体積をそれぞれとする。また、ピストンの質量は無視できる。ピストンとシリンダーは十分に断熱されており、シリンダー内部に設置された加熱装置から加えられる熱を除き、周囲とシリンダー内部との間で熱の授受はないものとする。さらに、ピストン、シリンダー、加熱装置など、水と水蒸気以外の物体の熱容量は無視できるものとする。

[A] 図2(i)のように滑らかに動くピストンを持つシリンダー内部に水1molが密封されており、圧力をで一定に保ちながら、このシリンダー内部の加熱装置でゆっくり加熱し、熱量を加えた。

(a) (i)の状態の水の温度は(ただし)であった。次の文章中の空欄()()に当てはまる数式を答えよ。
の場合は、シリンダー内には水のみが存在する。の場合はシリンダー内には図2(ii)のように水と水蒸気が共存し、そのときの水蒸気の物質量(モル数)となる。の場合は、図2(iii)のようにシリンダー内は水蒸気のみとなる。

(b) 次に、圧力,温度の水蒸気1molあたりの内部エネルギーと水1molあたりの内部エネルギーとの差について考える。図2で示したピストンとシリンダーを用いて圧力,温度の水1molを圧力と温度が一定のもとで完全に水蒸気に変化させるとき、ピストンが外部に対してする仕事はで与えられる。この時に加える熱量はLであること、および熱力学の第1法則は気体に対してのみならず、液体や液体・気体間の状態変化においても成り立つことを考慮して、水蒸気と水の1molあたりの内部エネルギーの差を求めよ。

[B] 3(iv)に示すように仕切り壁のある密閉容器があり、仕切り壁の下側は圧力,温度の水1molで満たされており、仕切り壁の上側は真空になっている。この仕切り壁を取り除いたところ、水の一部が蒸発し、充分時間が経過した後、図3(v)のように容器内が圧力と温度の一様な気液共存状態となった。その圧力と温度はいずれも(iv)の状態より低いであった。なお、容器は外部に対して充分に断熱されているとする。

(c) 次の文章は(v)の状態における水蒸気の物質量の求め方を説明したものである。空欄()()に当てはまる数式を答えよ。

この場合、外部との間で熱や仕事の授受がないので、熱力学の第1法則より、(iv)の状態と(v)の状態の内部エネルギーは等しい。したがって、(iv)の状態と(v)の状態の水1molあたりの内部エネルギーをそれぞれ(v)の状態の水蒸気1molあたりの内部エネルギーを(v)の状態における水蒸気の物質量をxとすると、が成り立つ。他方、は水の比熱を含む式で与えられる。は前問(b)の結果を考慮してLを含む式で表すことができる。これよりxを内部エネルギーを用いない式で表すととなる。

[C] 図4(vi)のように滑らかに動くピストンを持つシリンダー内部が圧力,温度の水1molで満たされている。ピストンの外側の圧力はである。ピストンの外側には、ばねが取り付けられており、(vi)の状態では、ばねは自然長である。ここで、ばねは天井に固定されており、シリンダーは床に固定されている。次にピストンの外側の圧力をで一定に保ちながら、ある時間、加熱装置でゆっくり加熱したところ、水の一部が蒸発して図4(vii)のようにシリンダー内は圧力と温度が一様な気液共存状態となった。その圧力と温度はであった。ばね定数をk,シリンダーの断面積をAとし、以下の問に答えよ。ただし、ばねの質量と太さは無視できるものとする。

(d) (vi)の状態から(vii)の状態への変化に伴うピストンの移動量をdとする。(vii)の状態における力のつり合いを考えて、dを求めよ。

(e) (vii)の状態における水蒸気の物質量xAdのうち必要なものを用いて表せ。

(f) (vi)の状態から(vii)の状態まで変化する際に、シリンダー内での水の蒸発にともなってピストンが外側に対して仕事をした。その仕事WdAkのうち必要なものを用いて表せ。

(g) (vi)の状態から(vii)の状態まで変化する際に加えた熱量QWxLのうち必要なものを用いて表せ。
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