東大物理'10年前期[1]
途中で宙返りするジェットコースターの模型を作り、車両の運動を調べることにした。線路は水平な台の上に図1のように作った。車両はレールに乗っているだけであり、線路からぶら下がることはできない、車両の出発点である左側は斜めに十分高いところまで線路が伸びている。中央の宙返り部分は半径Rの円軌道であり、左右の線路となめらかにつながっている。円軌道の最下部は台の上面に接しており、以後高さは台の上面から測る。車両の行き先である右側の線路も十分長く作られているが、高さR以上の部分は傾斜角θ の直線であり、この部分では車両と線路の間に摩擦が働くようにした。すなわち、ここでは2本のレールの間を高くしてあり、そこに車両の底面が乗り上げて滑る。傾斜角θ は、この区間での動摩擦係数μを用いて、となるように設定されている。線路のそれ以外の場所ではレール上を車輪が転がるので、摩擦は無視することができる。重力加速度の大きさをgとし、車両の大きさと空気抵抗は無視して、以下の問いに答えよ。

Ⅰ　質量の車両Aが左側の線路上、高さの地点から初速度0で動き始める。車両Aが途中でレールから離れずに、宙返りをして右側の線路に入るためにが満たすべき条件を求めよ。

次に、左側の線路につながる円軌道部分の最下点に質量の車両Bを置いた。車両Aは円軌道に入る所で車両Bと衝突する。

Ⅱ　衝突後2つの車両が一体となって動く場合を考える。車両Aは左側の線路の高さの地点から初速度0で動き始める。一体となった車両がレールから離れずに宙返りするために、が満たすべき条件を求めよ。

Ⅲ　2つの車両が弾性衝突をする場合を考える。車両Aは左側の線路の高さの地点から初速度0で動き始める。車両Aは衝突後、直ちに取り除く。
(1) 衝突後に車両Bがレールから離れずに宙返りするために、が満たすべき条件を求めよ。
(2) が(1)で求めた条件を満たす場合、車両Bは宙返り後、右側の線路を進む。右側の線路での最高到達点の高さを求め、最高点到達後の車両のふるまいを述べよ。


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解答　計算はやや煩雑ですが、不等速円運動と衝突の標準的な問題です。
Ⅱでは、衝突の際にエネルギーが失われて、車両Aの出発時点と、車両Bが円軌道の最高点に来る時点とで、力学的エネルギー保存は成立していないことに注意してください。
Ⅲでは、弾性衝突でエネルギーは保存されるのですが、車両Aと車両Bの質量が異なる場合には車両Aが衝突直後に運動エネルギーをもつので、やはり、出発時点の車両Aの力学的エネルギーと、円軌道の最高点での車両Bの力学的エネルギーは、等しくなりません。

Ⅰ　車両Aが円軌道の最高点を通過できれば宙返りして右側の線路に入ることができます。
そのための条件は、車両Aが円軌道の最高点で線路から離れないこと、つまり、円軌道の最高点で車両Aが線路から受ける垂直抗力となることです。
円軌道の最高点において車両Aが受ける力は鉛直下向きの垂直抗力と重力です。この点での車両Aの速さをとして、この点における車両Aの運動方程式は、
　･･･①
出発時点での車両Aの力学的エネルギーは位置エネルギーのみ，円軌道の最高点では運動エネルギーと位置エネルギーで、両地点間での力学的エネルギー保存より、
これより、
これを①に代入して、
∴
∴ ......[答]

Ⅱ　一体となった車両A+Bが円軌道の最高点において受ける力は、線路から受ける鉛直下向きの垂直抗力と重力です。この点での車両A+Bの速さをとして、この点における車両A+Bの運動方程式は、
　･･･②
衝突直前の車両Aの速さを，衝突直後の車両A+Bの速さをとします。車両Aは、出発時点で位置エネルギーをもち、衝突直前に運動エネルギーをもちます。両地点間の力学的エネルギー保存より、
∴ 　･･･③
衝突前後における運動量保存より、
∴ 　･･･④
車両A+Bは、衝突直後に運動エネルギーをもち、円軌道の最高点で運動エネルギーと位置エネルギーをもちます。衝突直後と円軌道の最高点での力学的エネルギー保存より、
よって、④，③を用いて、

これを②に代入して、
Ⅰと同様に、円軌道の最高点で車両A+Bが線路から離れないことから、
∴ ......[答]

Ⅲ(1) 車両Bが円軌道の最高点で受ける鉛直下向きの垂直抗力の大きさを，この点における速さをとすると、この点での運動方程式は、
　･･･⑤
車両Aの衝突直前の速度を，衝突直後の車両A，車両Bの速度を，とします。
車両Aの出発点と衝突直前との力学的エネルギー保存より、

　･･･⑥
衝突前後での運動量保存より、
　･･･⑦
反発係数の式は、
　(弾性衝突より反発係数は1)
⑦に代入して、
∴ 　･･･⑧
衝突直後と円軌道の最高点での車両Bの力学的エネルギー保存より、
よって、⑧，⑥を用いて、

　･･･⑨
これを⑤に代入して、
円軌道の最高点で車両Bが線路から離れないことから、
∴ ......[答]
(2) 右側の斜面の高さR以上の部分において、車両Bは斜面から垂直抗力を受けるので、車両Bには動摩擦力 (運動方向と逆向き)が働きます。車両Bが斜面の高さR以上の部分を移動する距離はなので、動摩擦力が物体にする仕事は、
です。車両Bの力学的エネルギーは、円軌道の最高点でのから、右側の斜面での最高到達点でのとなるまでに、動摩擦力がする仕事の分だけ変化する(エネルギーの原理を参照)ので、
⑨を代入することにより、

∴ ......[答]
最高到達点で車両Bは一旦静止します。このときに車両Bが斜面に沿う方向に受ける力は、静止摩擦力f (斜面に沿って上向き)と重力の斜面に沿う方向の成分 (斜面に沿って下向き)です。この両者のつり合いの式を立てると、
静止摩擦係数をとして最大静止摩擦力はです。車両Bが滑り出さない条件は、
これより、
となりますが、より、この不等式は必ず成立します。よって、車両Bが滑り出すことはなく、
車両Bは最高到達点で静止したままになる ......[答]


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