カージオイド　　　関連問題


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として、， () で与えられる曲線をカージオイドと言う。
，，　(媒介変数表示された関数の微分法を参照)
における増減表は以下の通りです。
θ0


θ


0−−−0＋0−0＋＋＋0
x
×−0＋×−×＋×−0＋×
y000
注．増減表でyの変化がおかしいと思うかも知れません。においては、xはθ に対して単調減少なので、上の増減表ではxの欄から下を右から左に見ていく必要があります。からまででxはからまで変化し、yはからまで増加するので、になっています。においても同様に、xの欄から下を右から左に見ていく必要があります。
グラフは右図のようになります。

右図のカージオイドCで囲まれる部分の面積Sを求めてみます。
グラフはx軸に関して対称なので、x軸から上の部分を2倍して求めることにします。
に対応する部分を，に対応する部分をとすると、面積を求める部分は、においては、とで挟まれる部分、においては、とx軸に挟まれた部分になります。従って、Sは、についてからまで積分したものから、についてからまで積分したものを引けば求められます。

とおいて置換積分すると、
について、x：のとき、θ：
について、x：のとき、θ：

　　　　
　
　　　　
　
　　　　
　
　　　　
　
　　　　
　
　

カージオイドCの周の長さ()を求めてみます。
x軸から上の部分の周の長さの2倍と考えて、

　
　
　
　
∴
　


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