置換積分 関連問題
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この項目では、不定積分の公式を参照してください。
また、![](sbstintg.files/Eqn002.gif)
但し、
とおいた。
,
として、x:
のとき、t:
(
,
),
また、
のとき、
だとして、
において
は連続,
,
だとする。
証明
だとすると、![](sbstintg.files/Eqn017.gif)
合成関数の微分法の公式より、![](sbstintg.files/Eqn018.gif)
をxで微分すると、![](sbstintg.files/Eqn020.gif)
∴ ![](sbstintg.files/Eqn021.gif)
をxで微分すると、
になる、ということは、
をxで積分すると
になるということです。
つまり、
(
)
∴ ![](sbstintg.files/Eqn028.gif)
また、
(証明終)
積分の計算は微分の計算と違って、必ずできるという保証がないのです。例えば、
のとき、
という形の積分は、指数関数や三角関数では表せないことが知られています。
ですが、そのままの形では積分の計算ができなくても、文字の置き換えを行うことにより、積分の計算が行える場合があります。
という形をしていて、計算のできない積分があった場合に、
とおくと、![](sbstintg.files/Eqn034.gif)
そこで、積分の中の
を
で置き換えて、xに関する積分をtに関する積分
に直してしまうことができます。
定積分の場合には、積分範囲の
はxに関する範囲なので、tに間する積分に直す場合には、
,
として、x:
のとき、t:
なので、
この形に直すと積分が計算できる場合があります。ただし、置換積分は、いつもうまくいくとは限らないことに注意してください。
という形の積分は、
とおくと、うまくいくことがあります。
例1 ![](sbstintg.files/Eqn046.gif)
とおくと、
∴ ![](sbstintg.files/Eqn049.gif)
x::
のとき、t:![](sbstintg.files/Eqn051.gif)
∴ ![](sbstintg.files/Eqn052.gif)
の場合には、
とおいて、xについて解いてから、
を求めます。
例2 ![](sbstintg.files/Eqn056.gif)
の場合には、
とおくと、
∴ ![](sbstintg.files/Eqn069.gif)
が被積分関数の中にあるときには、nが奇数になっているときに、
として、うまくいくときがあります。
の場合には、
とおくと、
∴ ![](sbstintg.files/Eqn075.gif)
が被積分関数の中にあるときには、nが奇数になっているときに、
として、うまくいくときがあります。
例3 ![](sbstintg.files/Eqn078.gif)
の場合には、
とおくと、うまくいくことがあります。
例4 ![](sbstintg.files/Eqn088.gif)
とおくと、
,
x:
のとき、t:![](sbstintg.files/Eqn093.gif)
∴
さらに、
とおくと、
t:
のとき、u:![](sbstintg.files/Eqn098.gif)
∴ ![](sbstintg.files/Eqn099.gif)
の場合には、
とおくと、うまくいくことがあります。
例5 ![](sbstintg.files/Eqn102.gif)
∴
第1項の積分は、
とおくと、
∴
θ :
のとき、t:
より、 第2項の積分は、
第3項の積分は、
以上より、![](sbstintg.files/Eqn119.gif)
注意 上記の置換積分で、
という形をしている積分では、文字の置き換えが面倒なので、
として、
(C:積分定数) というような書き方をすることがあります。
を固まりとして文字のように思って積分の計算をします。
以下のように、定積分のときには、
,
として、積分範囲を入れかえる必要がないので便利です。
これを、高校の教科書風に計算を書くのであれば、
とおいて、
,x:
のとき、t:
より、
となります。
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