置換積分 関連問題
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この項目では、不定積分の公式を参照してください。
また、
但し、
とおいた。
，
として、x：
のとき、t：
(
，
)，
また、
のとき、
だとして、
において
は連続，
，
だとする。
証明 
だとすると、
合成関数の微分法の公式より、
をxで微分すると、
∴ 
をxで微分すると、
になる、ということは、
をxで積分すると
になるということです。
つまり、
(
)
∴ 
また、
(証明終)
積分の計算は微分の計算と違って、必ずできるという保証がないのです。例えば、
のとき、
という形の積分は、指数関数や三角関数では表せないことが知られています。
ですが、そのままの形では積分の計算ができなくても、文字の置き換えを行うことにより、積分の計算が行える場合があります。
という形をしていて、計算のできない積分があった場合に、
とおくと、
そこで、積分の中の
を
で置き換えて、xに関する積分をtに関する積分
に直してしまうことができます。
定積分の場合には、積分範囲の
はxに関する範囲なので、tに間する積分に直す場合には、
，
として、x：
のとき、t：
なので、
この形に直すと積分が計算できる場合があります。ただし、置換積分は、いつもうまくいくとは限らないことに注意してください。
という形の積分は、
とおくと、うまくいくことがあります。
例1 
とおくと、
∴ 
x:：
のとき、t：
∴ 
の場合には、
とおいて、xについて解いてから、
を求めます。
例2 
の場合には、
とおくと、
∴ 
が被積分関数の中にあるときには、nが奇数になっているときに、
として、うまくいくときがあります。
の場合には、
とおくと、
∴ 
が被積分関数の中にあるときには、nが奇数になっているときに、
として、うまくいくときがあります。
例3 
の場合には、
とおくと、うまくいくことがあります。
例4 
とおくと、
，
x：
のとき、t：
∴ 
さらに、
とおくと、
t：
のとき、u：
∴ 
の場合には、
とおくと、うまくいくことがあります。
例5 
∴ 
第1項の積分は、
とおくと、
∴ 
θ ：
のとき、t：
より、 第2項の積分は、
第3項の積分は、
以上より、
注意 上記の置換積分で、
という形をしている積分では、文字の置き換えが面倒なので、
として、
(C：積分定数)
を固まりとして文字のように思って積分の計算をします。
以下のように、定積分のときには、
，
として、積分範囲を入れかえる必要がないので便利です。
これを、高校の教科書風に計算を書くのであれば、
とおいて、
，x：
のとき、t：
より、
となります。
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とおくと、
，
，
∴ 
のとき、t：
とおくと、
，
のとき、t：
(∵ 
)
