合の数 関連問題
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場合の数を数えるのに、集合のベン図を書いたり、表を作ったりしますが、有効な方法の一つに樹形図があります。
例えば、長さ8cmの針金から長さ1cm，2cm，4cmの針金を切り取る方法の数を数えるのに、長い方から順に切り取っていって、右図のような樹形図を書けば9通りあるとわかります。
この例で、“長さ8cmの針金から長さ1cm，2cm，4cmの針金を切り取る”というできごとを事象と呼びます。このウェブ・サイトでは、事象Aの起こる場合の数を
と書くことにします。
和の法則：事象Aと事象Bが同時に起こらないとき、事象Aまたは事象Bが起こる場合の数は、
事象Aと事象Bが同時に起こる場合の数を
，事象Aまたは事象Bが同時に起こる場合の数を
と考えれば、
のときの、集合における公式：
と同じです(集合の要素の数を参照)。
例1．(1) 大小2個のサイコロを振って、A：出た目の和が5，B：出た目の和が10，とします。
事象Aが起こる場合に数は、出た目が
，
，
，
の4通りで、
事象Bが起こる場合の数は、出た目が
，
，
の3通りで、
事象Aと事象Bは同時に起こらないので、事象Aまたは事象Bの起こる場合の数、つまり、出た目の和が5または10になる場合の数は、
です。
(2) 大小2個のサイコロを振って、A：出た目の和が5，C：出た目の積が4，とします。
事象Cが起こる場合の数は、出た目が
，
，
の3通りで、
ですが、事象Aまたは事象Cの起こる場合の数は、5通りであって、
にはなりません。
事象Aと事象Cがともに起こる場合が
だからです。
このときは、
通りとします。
積の法則：事象Aと事象Bについて、事象Aの各一通りについて、事象Bの全ての場合が起こりうるとき、事象Aに続いて事象Bが起こる場合の数は、
樹形図を書けば、事象Aの
通りの各一通りごとに事象Bの
通りが起こるので、場合の数は
通りとなります。
事象Aの各一通りごとに、事象Bのどれが起こるかということに違いがある場合には、積の法則は使えません。
例2．(1) 1から4までの数字の書いたカードを順に2枚引いて、最初に引いた数字を10の位の数字、2回目に引いた数字を1の位の数字をして、2桁の整数を作ると、最初に引く数字が1から4の4通りあり、2回目に引く数字は、最初に1から4のどの数字を引いた場合についても残り3通りあるので、
通りの整数ができます。
(2) (1)を0から3までの数字の書いたカードで行うと、最初に引く数字が0の場合に2桁の整数ができないので、整数は
通りできません。
通りとなります。最初に引く数字が0か、1から3のどれかによって違いができます。
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