円と図形 関連問題
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円周上の異なる2点を固定する。この2定点と円の中心を線分で結ぶとき、2線分のなす角を中心角と言う。この2定点とは異なる円周上の点をとって2定点と線分で結ぶとき、2線分のなす角を円周角と言う。
(1) 円周角の大きさは中心角の大きさの
。
(2) 円周角の定理：円周上に異なる2点をとるとき、この2点を結ぶ弦(弧)の上に立つ円周角は等しい。
(3) 円周角の定理の逆：四角形ABCDについて、
であれば、この四角形は円に内接する。 (4) 定理：円に内接する四角形の対角は補角をなす。
(5) (3)の定理の逆：対角が互いに補角をなす四角形は円に内接する。
(6) 定理：円外の1点から円に引いた2接線の長さは等しい。
(7) 3辺の長さをa，b，cとする三角形の内接円の半径をrとすると、円の面積Sは、
(8) 接弦角の定理：円周上の2点A，Bを結ぶ線分と、AまたはBにおける円の接線とがなす角は、弦AB(劣弧
とします。なお、優弧でもABと接線のなす角を優角とすれば接弦角の定理が成り立ちます)の上に立つ円周角と等しい。 (9) 2円の共通接線の本数 (i) 2円に共通部分がない：4本 (ii) 2円が外接する：3本 (iii) 2円が2点で交わる：2本 (iv) 2円の一方が他方に内接する：1本 (v) 2円の一方が他方を含む：0本
(10) 2円の共通接線に関する技巧：2円の中心を結び、これを斜辺とする直角三角形を作る。
まず、(1)〜(8)の証明を書いておきます。
(1) 中心をOとする円周上に異なる3点A，B，Cをとります。線分COのO側への延長線と円との交点をXとします。
・A，O，Cが一直線上のとき(XとAが一致します。XとBが一致し、B，O，Cが一直線上のときも同様)、
より、△OBCは二等辺三角形です。よって、
，中心角
は△OBCの外角で、 ・XがAともBとも一致せず、A，O，Cも、B，O，Cも一直線上にない場合、△OBC，△OCAがともに存在します。
より、△OBC，△OCAはともに二等辺三角形です。よって、
，
また、
は△OBCの外角で、 同様に、
は△OACの外角で、 (i) CとXが直線ABの逆側にあるとき、
の場合には
を優角(
より大きい方の角)として、 (ii) CとXがともに直線ABに関して同じ側にあるとき、円周上にA，B，X，Cの順に並ぶ場合(A，B，C，Xの順に並ぶ場合も同様です)には、
(2) 円周上に異なる2点A，Bをとり、この2点と異なる円周上の点C，Dを直線ABに関して同じ側にとると、
，
は、弦AB(弧
)の上に立つ円周角です。よって(1)により、 
，
即ち、弦AB(弧
)の上に立つ円周角は等しくなります。
(3) Dが△ABCの外接円の周上の点ではないとして、外接円と直線ADとの交点のうちAでない方をEとします。円周角の定理(2)により、
です。Dが線分AE上のE以外の点であれば、
より条件に反します。Dが半直線AE上のEに関してAと反対側の点であれば、
より条件に反します。よって、DはEに一致し、四角形ABCDは円に内接します。
(4) 円周角の定理(2)により、
，
△ABCにおいて、
よって、 同様に、
，よって、円に内接する四角形の対角は補角をなします。
(5) 四角形ABCDで対角が補角をなし、
だとします。△ABCの外接円
の円周上で直線ABに関してC，Dと同じ側に点Eをとると、四角形ABCEは円
に内接します。(4)により、
よって、
，円周角の定理の逆(3)により、Dも円周
上の点であり、四角形ABCDは円
に内接します。
(6) Oを中心とする円に円外の点Pから接線を2本引き、接点をA，Bとします。△OAPと△OBPにおいて、
(円の半径)，OP共通，
より、△OAP ≡ △OBP ∴ 
即ち、円外の1点から円に引いた2接線の長さは等しくなります。
(7) 内接円の中心(内心です。三角形の五心を参照)をIとします。
(8) 円周上の点Aで(点Bにおける接線も同様)接線を引き、円周上にAと異なる点Dを、DAが接線と垂直になるようにとります。DAは円の直径なので、
より、
ですが、これは接線と弦ABのなす角です。円周上にA，Bとは異なる点Cをとると、円周角の定理(2)より、
よって、弦の一端に引いた接線と弦のなす角は、この弦(劣弧)の上に立つ円周角と等しくなします。
(9) 2円の位置関係は、右上図の5通りあり、その各々について、図の青線のように接線を引くことができます。
(10) 2円が接するような状況を考える問題があります。このとき、一方の円(半径
)の中心
と接点
とを結ぶ直線に、もう一方の円(半径
)の中心
から垂線
を下ろすと、直角三角形
ができます。
，
より、 この事実を利用して解く問題があります。
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の大きさは中心角
の大きさの
です。
