余弦定理 関連問題
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第1余弦定理
右図の
において、
[証明] 頂点Aから対辺BCに下ろした垂線の足をHとします。
，
，
より、
同様に、頂点Bから対辺CAに垂線を下ろすことにより、
頂点Cから対辺ABに垂線を下ろすことにより、
(証明終)
(三角比、三角比の拡張を参照)
第2余弦定理
右図の
において、
第2余弦定理がいわゆる「余弦定理」です。
[証明] 第1余弦定理より、
･･･①
･･･②
･･･③
②より、
，③より、
①に代入すると、
分母を払って整理すると、
同様にして、①，③で得られた
，
を②に代入することにより、
①，②で得られた
，
を③に代入することにより、
(証明終)
余弦定理において、A，B，Cのいずれかが直角であれば、
，
，
のいずれかがゼロであり、三平方の定理になります。
余弦定理を変形すると、3辺の長さから、三角形の内角の余弦を求める公式が得られます。
，
，
例．3辺が、
，
，
である三角形の頂角Aの大きさを求めます。
余弦定理より、
よって、
......[答]
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