余弦定理 関連問題
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第1余弦定理
右図の
において、
![](cosinerule.files/Eqn002.gif)
![](cosinerule.files/Eqn003.gif)
![](cosinerule.files/Eqn004.gif)
[証明] 頂点Aから対辺BCに下ろした垂線の足をHとします。
,
,
より、
![](cosinerule.files/Eqn008.gif)
同様に、頂点Bから対辺CAに垂線を下ろすことにより、
![](cosinerule.files/Eqn009.gif)
頂点Cから対辺ABに垂線を下ろすことにより、
![](cosinerule.files/Eqn010.gif)
(証明終)
(三角比、三角比の拡張を参照)
第2余弦定理
右図の
において、
![](cosinerule.files/Eqn012.gif)
![](cosinerule.files/Eqn013.gif)
![](cosinerule.files/Eqn014.gif)
第2余弦定理がいわゆる「余弦定理」です。
[証明] 第1余弦定理より、
・・・@
・・・A
・・・B
Aより、
,Bより、![](cosinerule.files/Eqn019.gif)
@に代入すると、
![](cosinerule.files/Eqn020.gif)
分母を払って整理すると、![](cosinerule.files/Eqn021.gif)
同様にして、@,Bで得られた
,
をAに代入することにより、![](cosinerule.files/Eqn024.gif)
@,Aで得られた
,
をBに代入することにより、![](cosinerule.files/Eqn027.gif)
(証明終)
余弦定理において、A,B,Cのいずれかが直角であれば、
,
,
のいずれかがゼロであり、三平方の定理になります。
余弦定理を変形すると、3辺の長さから、三角形の内角の余弦を求める公式が得られます。
,
,![](cosinerule.files/Eqn033.gif)
例.3辺が、
,
,
である三角形の頂角Aの大きさを求めます。
余弦定理より、![](cosinerule.files/Eqn037.gif)
よって、
......[答]
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